高考数学总复习讲义14：逻辑

2013高考数学总复习讲义14：逻辑本文简介：高三数学总复习讲义——逻辑与关联词一、知识清单：1．常用逻辑用语（1）命题命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种

2013高考数学总复习讲义14：逻辑本文内容：

高三数学总复习讲义——逻辑与关联词

一、

知识清单：

1．常用逻辑用语

（1）命题

命题：可以判断真假的语句叫命题；

逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。

（2）复合命题的真值

“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：

p

非p

真

假

假

真

“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：

p

q

p且q

真

真

真

真

假

假

假

真

假

假

假

假

“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：

p

q

P或q

真

真

真

真

假

真

假

真

真

假

假

假

注：

1°像上面表示命题真假的表叫真值表；

2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；

3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。

（3）四种命题

如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；

如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。

两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。

（4）条件

一般地，如果已知pTq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。

可分为四类：

（1）充分不必要条件，即pTq,而qp；

(2)必要不充分条件，即pq,而qTp；

(3)既充分又必要条件，即pTq，又有qTp；

(4)既不充分也不必要条件，即pq，又有qp。

一般地，如果既有pTq，又有qTp，就记作：pq.“”叫做等价符号。pq表示pTq且qTp。

这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。

（5）全称命题与特称命题

这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

课前练习

1写出命题：“若

x

+

y

=

5则

x

=

3且

y

=

2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。

2:“若”

是____命题.(填真、假)

3命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。

4：用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求

证x、y中至少有一个不小于1。

5已知设P：函数在R上单调递减.：不等式的

解集为R，如果P和有且仅有一个正确，求的取值范围.

6:.(填,ü)

7:条件甲:;条件乙:,则乙是甲的_____条件.

8“α≠β”是cosα≠cosβ”的(

)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

9

已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的(

)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件(C)充要条件

(D)既不充分又不必要条件

10.（重庆卷2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的A

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

11、（重庆理2）命题“若，则”的逆否命题是（

）

A．若，则或

B.若，则

C.若或，则

D.若或，则

12、（重庆文5）“-1＜x＜1”是“x2＜1”的

（A）充分必要条件（B）充分但不必要条件

（C）必要但不充分条件（D）既不充分也不必要条件

13、（辽宁理10）设是两个命题：，则是的（

）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

14、（辽宁文11）设是两个命题：，则是的（

）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

典型例题：

例1．写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假。

（1）p：9是144的约数，q：9是225的约数。

（2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1；

（3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.

例2．（1）

“”是“直线相互垂直”的（

）

A．充分必要条件B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

（2）

设集合A＝｛x|＜0，B＝｛x

||

x

－1|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的（

）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件

例3．

（1）

命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为

；

（2）判断命题：“若没有实根，则”的真假性。

例4．命题p：“有些三角形是等腰三角形”，则┐p是（

）

A．有些三角形不是等腰三角形

B．所有三角形是等腰三角形

C．所有三角形不是等腰三角形

D．所有三角形是等腰三角形

实战演练：

1、

“”是“直线平行于直线”的（

）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

2、

命题“对任意的，”的否定是

（A）不存在，

（B）存在，

（C）存在，

（D）对任意的，

3、

下列各小题中，是的充要条件的是

（1）或；有两个不同的零点。

（2）

是偶函数。

（3）

。

（4）

。

（A）

（B）

（C）

（D）

4、

“|x|<2”是“x2-x-6<0”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5、

设是两个集合，则“”是“”的（

）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

6、

设，有实根，则是的（

）

A．充分不必要条件

B.

必要不充分条件C.

充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件

7、

设在内单调递增，，

则是的（

）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

8、

若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（

）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

9、

已知命题，，则（

）

A．，B．，

C．，

D．，

10、

已知p是r的充分条件而不是必要条件,q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：

①r是q的充要条件；

②p是q的充分条件而不是必要条件；

③r是q的必要条件而不是充分条件；

④┐p是┑s的必要条件而不是充分条件；

⑤r是s的充分条件而不是必要条件.

则正确命题的序号是

A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤

11、

“”是“”的（

）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

实战训练B

1．

原命题：“设＞bc”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（

）个.

A、0

B、1

C、2

D、4

2．

已知命题，，则(

)

A．,B．,C．,≤

D．,≤

3．

命题“，”的否定是

A．，

B．，

C．，

D．不存在，

4．

已知命题p:

xR，cosx≤1，则（

）

A．B．

x∈R，cos

x≥1

C．

D．

x∈R，cos

x＞1

5．

已知命题“若则”为真，则下列命题中一定为真的是（

）

A．若则B．若则C．若则D．若则

6.

设集合A={x|},B={x|0＜x＜3＝,那么“mA”是“mB”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.

已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（

）

A．B．C．D．

8．

设集合，，那么“”是“”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

9．

有限集合中元素个数记作card，设、都为有限集合，给出下列命题：

①的充要条件是card=

card+

card；

②的必要条件是cardcard；

③的充分条件是cardcard；

④的充要条件是cardcard.

其中真命题的序号是

（

）

A.

③、④

B.

①、②

C.

①、④

D.

②、③

10

若“p且q”与“”均为假命题，则（

）

A．p真q假B．p假q真C．p与q均真D．p与q均假

11．

已知是定义在R上的函数，且满足，则“为偶函数”是“2为函数的一个周期”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

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