裴波那契数列

什么叫斐波那契数列？

如果我们把一些数字排成一排，就构成了一个数列。

比如最简单的自然数列：1、2、3、4、5….偶数的数列2、4、6、8…等，后一项与前一项之差是不变的，这种数列称为等差数列。

在比如1、2、4、8、16…这样的数列，后一项和前一项的比例是不变的，称为等比数列。

在自然界中，有一个最为神奇、几百年来一直被人们热议的数列，那就是“兔子数列”。

斐波那契在中世纪的欧洲，由于宗教原因，科学和数学的发展非常缓慢。

欧洲人还习惯于使用罗马数字计数。

罗马数字一共有7个数字，分别是：Ⅰ（1）、Ⅴ（5）、Ⅹ（10）、?（50）、?（100）、?（500）和?（1000）。

它的计数规则也比较复杂，比如，把两个数字并排，如果右边的数字比左边的数字小，则表示两个数字相加；如果右边的数字比左边的数字大，表示两个数字想减。

此外还有许多复杂的规矩，使用起来非常不方便。

十二世纪时，欧洲数学才有了复苏的迹象。

由于与阿拉伯国家的贸易和十字军东征等原因，欧洲同阿拉伯世界发生了联系，发现此时的阿拉伯正在使用1234567890这样的符号表示数字，十分方便。

由于这种数字是从阿拉伯国家学习到的，所以称为阿拉伯数字。

但是实际上，在公元前三世纪，印度人就已经在使用类似的方法表示数字了，阿拉伯数字是印度人发明的。

在公元7世纪时，这种数字传入阿拉伯，后来又通过欧洲传播到全世界。

斐波那契（也叫做比萨的列奥纳多）是一个意大利数学家，年少时随着父亲在北非做生意，学习了阿拉伯数字。

1200年他回到了意大利，在1202年写成了著作《计算之术》，这本书对欧洲的数学界有很大的影响。

兔子数列在这本书中，斐波那契提出了一个问题：在第一个月有一对刚出生的小兔子，在第二个月小兔子变成大兔子并开始怀孕，第三个月大兔子会生下一对小兔子，并且以后每个月都会生下一对小兔子。

如果每对兔子都经历这样的出生、成熟、生育的过程，并且兔子永远不死，那么兔子的总数是如何变化的？我们不妨先来看个图：第一个月只有一对兔宝宝，1对兔子。

第二个月兔宝宝变成大兔子，1对兔子。

第三个月大兔子生了一对兔宝宝，一大一小2对兔子。

第四个月大兔子继续生一对兔宝宝，小兔子变成大兔子。

两大一小3对兔子。

….我们把这个数列列表我们发现会发现以下几个规律：前一个月的大兔子对数就是下一个月的小兔子对数。

前一个月的大兔子和小兔子对数的和就是下个月大兔子的对数。

按照这个表格，我们会发现无论是小兔子对数、大兔子对数还是总对数，除了最初几个数字不一样之外，后面都是按照1、1、2、3、5、8、13…变化的，这个数列就称为兔子数列或者斐波那契数列。

兔子数列最大的特点就是前两项之和等于后一项，比如1+1=2、1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13…我们用an表示一个数列的第n项，那么斐波那契数列的规律就是这种式子称为递推式，也就是说可以从前面一项或几项，计算出后面一项的式子。

再结合前两项a1=a2=1，就可以得到后面任意一项了。

神奇的数列也许许多人觉得，斐波那契数列不过是浩如烟海的数学海洋中的一滴水。

但是实际上，从这个数列被提出的那一天起，几百年来人们在许多领域都发现了它的影子。

在数学上，许多求“方法数”的问题，答案都是斐波那契数列。

例如：如果我们要上一个N级台阶的楼梯，每次只能走1格或者2格，那么一共有多少种走法呢？如果只有一级台阶，显然只有1种走法。

如果有两级台阶，显然可以走一步，也可以走两步，因此有2种走法。

如果有三级台阶，就有如图所示的3种走法。

1、2、3这三个数字都是斐波那契数。

那么，如果有更多台阶怎么办呢？这就需要递推式了。

由于一步最多走连两个台阶，因此要到达第N级台阶，有两种方案：走到第N-1级台阶上，然后走1级台阶跨到最上方；走到第N-2级台阶上，然后一步走两级台阶跨到最上方。

注意，从第N-2级台阶走1级到N-1级台阶这种情况已经计算在第一种情况中计算过了。

我们用a(N-1)和a(N-2)分别表示走到第N-1级和第N-2级台阶的方法数，那么走到第N级台阶的方法数就是：aN= a(N-1)+ a(N-2)显然，这就是斐波那契数列的递推公式，因此走台阶问题的解刚好是斐波那契数列。

生活中最典型的斐波那契数列应用是在植物学中。

大树在生长的过程中会长出分枝，如果我们从下到上数分枝个数，就会发现依次是1、1、2、3、5、8、13…等等，刚好是斐波那契数列。

有科学家对这种现象的解释是与兔子繁殖后代相同：每过一段时间老树枝都会萌发新芽，而新芽成长为成熟的树枝后也会每隔一段时间萌发一次新芽。

另一个神奇的例子就是向日葵等植物。

如果我们仔细观察，就会发现向日葵盘内的种子形成两组螺旋线，一组是顺时针的，另一组是逆时针的。

而这两组螺旋线的条数刚好是两个相邻的斐波那契数，小向日葵是34和55，大向日葵是144和233。

松果种子、菜花表面也有类似的规律。

有科学家认为：这种排列可以使得种子的堆积最密集，最有利于植物繁衍后代。

八百年来，人们在各个领域都发现了斐波那契数列。

尤其是十九世纪开始，人们发现了斐波那契数列在计算机、物理、化学等领域的应用，这个古老的数列焕发了新的青春。

1963年，斐波那契协会成立，并出版了《斐波那契季刊》用以刊登与斐波那契数列相关的研究成果。

斐波那契数列是指这样一个数列，{1,1,2,3,5,8,13,21.}，它的首项为1，第2项也为1，且从第3项起，每一项都等于它前两项之和。

用符号定义如下：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）;如：8=3+5（第6项=第4项+第5项）。

一 缘起斐波那契数列缘起于著名的“兔子问题”：设有一对新生的兔子，从第3个月开始他们每个月都生一对兔子，新生的兔子从第3个月开始又每个月生一对兔子。

按此规律，并假定兔子没有死亡，n个月后共有多少对兔子？解析如下：我们用f(n)表示第n月时的兔子的对数，则f(1) = 1(第1个月有一对兔子）f(2) = 1(第2个月还是一对兔子） f(3) = 2(原来有一对兔子，第3个开始，每个月生一对兔子，故共有2对。

）f(4) = 3(原来有两对兔子，有一对可以生育）f(5) = 5(原来有3对兔子，第3个月出生的那对兔子也可以生育了，那么现在有两对兔子可以生育）。

以此类推，我们可以得到第n月的兔子对数满足斐波那契数列{1,1,2,3,5,13.}。

二 斐波那契数列与黄金分割斐波那契数（即1,2,3,5.）与黄金分割数≈0.618有着密切联系，下面从前往后对斐波那契数作除法。

1/2=0.50002/3≈0.66673/5=0.60005/8=0.62508/13≈0.615413/21≈0.619021/34≈0.617634/55≈0.6182.我们发现，其比值越往后，越逼近黄金分割数0.618.

三 黄金螺旋线 以斐波那契数1,1,2,3,5.等为边长构造正方形，再按下图拼成长方形，最后内部画半圆，首位连接可得到黄金螺旋。

黄金螺旋在生活中有很多运用。