江西省宜春市届高三模拟考试数学(理)试题

江西省宜春市2012届高三模拟考试数学(理)试题本文简介：宜春市2012届高三模拟考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．设全集，，则右图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．3．

江西省宜春市2012届高三模拟考试数学(理)试题本文内容：

宜春市2012届高三模拟考试数学（理科）试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．在复平面内，复数对应的点位于（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2．设全集，，

则右图中阴影部分表示的集合为

（

）

A．

B．

C．

D．

3．已知条件：，条件：，则是的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既非充分也非必要条件

4．如果数列，，，…，，…是首项为，

公比为的等比数列，则等于（

）

A．

B．

C．

D．

5．若右边的程序框图输出的是，则条件①可为

（

）

A．

B．

C．

D．

6．右图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

（

）

A．

B．

C．

D．

7．设

，且，，则等于（

）

A．

B．

C．

D．或

8．过双曲线的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为

（

）

A．

B．

C．

D．

9．设定义在上的函数，若关于的方程

有3个不同实数解、、，且，则下列说法中错误的是（

）

A．

B．

C．

D．

10．定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为

（

）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）

A

N

M

D

C

B

第12题

11．已知二项式展开式的前三项的系数成等差数列，则=

．

12．如右图，在直角梯形中，，，

，，点是梯形内（包括边界）的

242

3

4

2

2

4

主视图

俯视图

左视图

一个动点，点是边的中点，则

的最大值是____．

13．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的

体积是

．

14．已知，，，…，

第13题

均为正实数，类比以上等式，可推测的值，

则

．

15．选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分）

（1）（极坐标与参数方程）在直角坐标系中，圆的参数方程为

为参数，．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为．当圆上的点到直线的最大距离为时，圆的半径

．

（2）（不等式）对于任意实数，不等式恒成立时，若实数的最大值为3，则实数的值为

．

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤）

16．（本小题12分）已知满足.

（1）将表示为的函数，并求的单调递增区间；

（2）已知三个内角、、的对边分别为、、，若，且，求面积的最大值．

17．（本小题12分）为丰富高三学生的课余生活，提升班级的凝聚力，某校高三年级6个班（含甲、乙）举行唱歌比赛．比赛通过随机抽签方式决定出场顺序．

求：（1）甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；

（2）比赛中甲、乙两班之间的班级数记为，求的分布列和数学期望．

18．（本小题12分）如图，已知平面，，为等边三角形，，为的中点．

A

B

C

D

E

F

第18题

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求直线和平面所成角的正弦值．

19．（本小题12分）已知函数．

(1)证明函数的图像关于点对称;

（2）若，求；

（3）在（2）的条件下，若

，为数列的前项和，若对一切都成立，试求实数的取值范围．

20．（本小题13分）已知离心率为的椭圆

经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）过左焦点且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点，若

（为坐标原点），求直线的方程．

21．（本小题14分）已知函数.

（1）若在上的最大值为，求实数的值；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线

上是否存在两点、，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由。

宜春市2012届高三模拟考试数学（理科）

答案及评分标准

一、选择题

1．D

2．B

3．A

4．A

5．B

6．C

7．A

8．C

9．C

10．A

二、填空题

11．

2或14

12．

6

13．

14．

41

15．（1）

1

；（2）

或

三、解答题

16．解：（1）

所以，………………………3分

令，得即为的单调递增区间.

………………6分

（2）又

………………………………8分

在中由余弦定理有,可知(当且仅当时取等号),即面积的最大值为

………………………………12分

17．解：（1）设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件，则

所以

甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为………………………………4分

（2）随机变量的可能取值为.

，

，

，

……………………10分

随机变量的分布列为：

0

1

2

3

4

因此，

即随机变量的数学期望为.

…………………………12分

18．（1）证明：取的中点，连、．

∵为的中点，∴且

∵平面，平面.

∴，∴

又，∴

∴四边形为平行四边形，因此

∵平面，平面.

∴平面

…………………………………4分

（2）证明：∵是等边三角形，为的中点，

∴

∵平面，平面，∴

又，故平面

∵，∴平面

∵平面，

∴平面平面

………………………………………………………8分

（3）解：在平面内，过作于，连

∵平面平面，∴平面

∴为和平面所成的角

………………………………10分

设，则

，

中，

∴直线和平面所成角的正弦值为………………………………………12分

（用空间向量法解答对应给分）

19．（1）

证明：因为函数的定义域为，

设、是函数图像上的两点,其中且,则有

因此函数图像关于点对称

……………………………………4分

（2）由（1）知当时，

①

②

①+②得

………………………………………………………………8分

（3）当时，

当时，，

当时，

…=

∴

（）

又对一切都成立，即恒成立

∴恒成立，又设,所以在上递减,所以在处取得最大值

∴，即

所以的取值范围是

………………12分

20．解：（1）依题意得：，且

解得：

故椭圆方程为

……………………………………………………4分

（2）椭圆的左焦点为，则直线的方程可设为

代入椭圆方程得：

设

…………6分

由

得：，

即

……………………………………………………………………9分

又，原点到的距离，

则

解得

的方程是

………………………………13分

（用其他方法解答参照给分）

21．解：（1）由，得，

令，得或．

列表如下：

0

0

0

极小值

极大值

∵，，，

即最大值为，．………………………………………………4分

（2）由，得．

，且等号不能同时取，，

恒成立，即．

令，求导得，，

当时，，从而，

在上为增函数，，．………………………………8分

（3）由条件，，

假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，

不妨设，则，且．

是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，

，

，……………………………………10分

是否存在等价于方程在且时是否有解．

①若时，方程为，化简得，

此方程无解；

………………………………………………………………………11分

②若时，方程为，即，

设，则，

显然，当时，，即在上为增函数，

的值域为，即，

当时，方程总有解．

对任意给定的正实数，曲线

上总存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．………………14分