高三数学练习题及答案：数列

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.在等差数列{an}中，若a1+a2+a12+a13=24，则a7为()

A.6B.7C.8D.9

解析：∵a1+a2+a12+a13=4a7=24，∴a7=6.

答案：A

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33-S22=1，则数列{an}的公差是()

A.12B.1C.2D.3

解析：由Sn=na1+n(n-1)2d，得S3=3a1+3d，S2=2a1+d，代入S33-S22=1，得d=2，故选C.

答案：C

3.已知数列a1=1，a2=5，an+2=an+1-an(n∈N*)，则a2011等于()

A.1B.-4C.4D.5

解析：由已知，得a1=1，a2=5，a3=4，a4=-1，a5=-5，a6=-4，a7=1，a8=5，…

故{an}是以6为周期的数列，

∴a2011=a6×335+1=a1=1.

答案：A

4.设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5

A.d<0B.a7=0

C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的值

解析：∵S5

又S7>S8，∴a8<0.

假设S9>S5，则a6+a7+a8+a9>0，即2(a7+a8)>0.

∵a7=0，a8<0，∴a7+a8<0.假设不成立，故S9

答案：C

5.设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3=3a3，则公比q的值为()

A.-12B.12

C.1或-12D.-2或12[

解析：设首项为a1，公比为q，

则当q=1时，S3=3a1=3a3，适合题意.

当q≠1时，a1(1-q3)1-q=3 a1q2，

∴1-q3=3q2-3q3，即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0，

解得q=1(舍去)，或q=-12.

综上，q=1，或q=-12.

答案：C

6.若数列{an}的通项公式an=5 252n-2-4 25n-1，数列{an}的项为第x项，最小项为第y项，则x+y等于()

A.3B.4C.5D.6

解析：an=5 252n-2-4 25n-1=5 25n-1-252-45，

∴n=2时，an最小;n=1时，an.

此时x=1，y=2，∴x+y=3.

答案：A

7.数列{an}中，a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()

A.a21a22B.a22a23C.a23a24D.a24a25

解析：∵3an+1=3an-2，

∴an+1-an=-23，即公差d=-23.

∴an=a1+(n-1) d=15-23(n-1).

令an>0，即15-23(n-1)>0，解得n<23.5.

又n∈N*，∴n≤23，∴a23>0，而a24<0，∴a23a24<0.

答案：C

8.某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()

A.1.14aB.1.15a

C.11×(1.15-1)aD.10×(1.16-1)a

解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1=a，w

an=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).

∴总产值为S6-a1=11×(1.15-1)a.

答案：C

9.已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7 a14的值为()

A.25B.50C.100D.不存在

解析：由S20=100，得a1+a20=10.∴a7+a14=10.

又a7>0，a14>0，∴a7 a14≤a7+a1422=25.

答案：A

10.设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn()

A.在直线mx+qy-q=0上

B.在直线qx-my+m=0上

C.在直线qx+my-q=0上

D.不一定在一条直线上

解析：an=mqn-1=x，①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y，②

由②得qn=y-1，代入①得x=mq(y-1)，即qx-my+m=0.

答案：B

11.将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为()

A.n2-nB.n2+n+2

C.n2+nD.n2-n+2

解析：因为前n-1组占用了数列2,4,6，…的前1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n-1)n2+1项，等于2+(n-1)n2+1-1 2=n2-n+2.

答案：D

12.设m∈N*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是()

A.8204B.8192

C.9218D.以上都不对

解析：依题意，F(1)=0，

F(2)=F(3)=1，有2个

F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2，有22个.

F(8)=…=F(15)=3，有23个.

F(16)=…=F(31)=4，有24个.

…

F(512)=…=F(1023)=9，有29个.

F(1024)=10，有1个.

故F(1)+F(2)+…+F(1024)=0+1×2+2×22+3×23+…+9×29+10.

令T=1×2+2×22+3×23+…+9×29，①

则2T=1×22+2×23+…+8×29+9×210.②

①-②，得-T=2+22+23+…+29-9×210=

2(1-29)1-2-9×210=210-2-9×210=-8×210-2，

∴T=8×210+2=8194，m]

∴F(1)+F(2)+…+F(1024)=8194+10=8204.

答案：A

第Ⅱ卷(非选择共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.若数列{an}满足关系a1=2，an+1=3an+2，该数列的通项公式为__________.

解析：∵an+1=3an+2两边加上1得，an+1+1=3(an+1)，

∴{an+1}是以a1+1=3为首项，以3为公比的等比数列，

∴an+1=3 3n-1=3n，∴an=3n-1.

答案：an=3n-1

14.已知公差不为零的等差数列{an}中，M=anan+3，N=an+1an+2，则M与N的大小关系是__________.

解析：设{an}的公差为d，则d≠0.

M-N=an(an+3d)-[(an+d)(an+2d)]

=an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d2<0，∴M

答案：M

15.在数列{an}中，a1=6，且对任意大于1的正整数n，点(an，an-1)在直线x-y=6上，则数列{ann3(n+1)}的前n项和Sn=__________.

解析：∵点(an，an-1)在直线x-y=6上，

∴an-an-1=6，即数列{an}为等差数列.

∴an=a1+6(n-1)=6+6(n-1)=6n，

∴an=6n2.

∴ann3(n+1)=6n2n3(n+1)=6n(n+1)=61n-1n+1

∴Sn=61-12+12-13+…+1n-1n+1.=61-1n+1=6nn+1.

答案：6nn+1

16.观察下表：

1

234

34567

45678910

…

则第__________行的各数之和等于20092.

解析：设第n行的各数之和等于20092，

则此行是一个首项a1=n，项数为2n-1，公差为1的等差数列.

故S=n×(2n-1)+(2n-1)(2n-2)2=20092，解得n=1005.

答案：1005

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.(10分)已知数列{an}中，a1=12，an+1=12an+1(n∈N*)，令bn=an-2.

(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn;

(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.

解析：(1)∵bn+1bn=an+1-2an-2=12an+1-2an-2=12an-1an-2=12，

∴{bn}是等比数列.

∵b1=a1-2=-32，

∴bn=b1qn-1=-32×12n-1=-32n.

(2)an=bn+2=-32n+2，

Sn=a1+a2+…+an

=-32+2+-322+2+-323+2+…+-32n+2

=-3×12+122+…+12n+2n=-3×12×1-12n1-12+2n=32n+2n-3.

18.(12分)若数列{an}的前n项和Sn=2n.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足b1=-1，bn+1=bn+(2n-1)，且cn=an bnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.

解析：(1)由题意Sn=2n，

得Sn-1=2n-1(n≥2)，

两式相减，得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).

当n=1时，21-1=1≠S1=a1=2.

∴an=2(n=1)，2n-1(n≥2).

(2)∵bn+1=bn+(2n-1)，

∴b2-b1=1，

b3-b2=3，

b4-b3=5，

…

bn-bn-1=2n-3.

以上各式相加，得

bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)

=(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)2.

∵b1=-1，∴bn=n2-2n，

∴cn=-2(n=1)，(n-2)×2n-1(n≥2)，

∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1，

∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n.

∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n

=2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n

=2n-2-(n-2)×2n

=-2-(n-3)×2n.

∴Tn=2+(n-3)×2n.

19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式.

解析：(1)依题意，得

3a1+3×22d+5a1+5×42d=50，(a1+3d)2=a1(a1+12d)，解得a1=3，d=2.

∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1，

即an=2n+1.

(2)由已知，得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1，

∴Tn=b1+b2+…+bn

=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1)

=4(1-2n)1-2+n=2n+2-4+n.

20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban-2n=(b-1)Sn.

(1)证明：当b=2时，{an-n 2n-1}是等比数列;

(2)求通项an.新课标第一网

解析：由题意知，a1=2，且ban-2n=(b-1)Sn，

ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1，

两式相减，得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1，

即an+1=ban+2n.①

(1)当b=2时，由①知，an+1=2an+2n.

于是an+1-(n+1) 2n=2an+2n-(n+1) 2n

=2an-n 2n-1.

又a1-1 20=1≠0，

∴{an-n 2n-1}是首项为1，公比为2的等比数列.

(2)当b=2时，

由(1)知，an-n 2n-1=2n-1，即an=(n+1) 2n-1

当b≠2时，由①得

an+1-12-b 2n+1=ban+2n-12-b 2n+1=ban-b2-b 2n

=ban-12-b 2n，

因此an+1-12-b 2n+1=ban-12-b 2n=2(1-b)2-b bn.

得an=2，n=1，12-b[2n+(2-2b)bn-1]，n≥2.

21.(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算，如果有20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作.问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由.

解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，则an-an-1=-13.

所以各车的工作时间构成首项为24，公差为-13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车.

设还需组织(n-1)辆车，则

a1+a2+…+an=24n+n(n-1)2×-13≥20×25.

所以n2-145n+3000≤0，

解得25≤n≤120，且n≤73.

所以nmin=25，n-1=24.

故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线.

22.(12分)已知点集L={(x，y)|y=m n}，其中m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式;

(3)设cn=5n an |PnPn+1|(n≥2)，求c2+c3+c4+…+cn的值.

解析：(1)由y=m n，m=(2x-2b,1)，n=(1,1+2b)，

得y=2x+1，即L：y=2x+1.

∵P1为L的轨迹与y轴的交点，

∴P1(0,1)，则a1=0，b1=1.

∵数列{an}为等差数列，且公差为1，

∴an=n-1(n∈N*).

代入y=2x+1，得bn=2n-1(n∈N*).

(2)∵Pn(n-1,2n-1)，∴Pn+1(n,2n+1).

=5n2-n-1=5n-1102-2120.

∵n∈N*，

(3)当n≥2时，Pn(n-1,2n-1)，

∴c2+c3+…+cn

=1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n.