反函数存在的条件
爱你一如既往
精选回答
如果函数y=f(x)是定义域D上的单调函数,那么f(x)一定有反函数存在,且反函数一定是单调的。反函数存在定理:严格单调函数必定有严格单调的反函数,并且二者单调性相同。
扩展资料:
在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。
设y=f(x)的定义域为D,值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2,当x1u003cx2时,有y1u003cy2,则称y=f(x)在D上严格单调递增;当x1u003cx2时,有y1u003ey2,则称y=f(x)在D上严格单调递减。
证明:设f在D上严格单增,对任一y∈f(D),有x∈D使f(x)=y。
而由于f的严格单增性,对D中任一x'u003cx,都有y'u003cy;任一x''u003ex,都有y''u003ey。总之能使f(x)=y的x只有一个,根据反函数的定义,f存在反函数f-1。
任取f(D)中的两点y1和y2,设y1u003cy2。而因为f存在反函数f-1,所以有x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),且x1、x2∈D。
若此时x1≥x2,根据f的严格单增性,有y1≥y2,这和我们假设的y1u003cy2矛盾。
因此x1u003cx2,即当y1u003cy2时,有f-1(y1)u003cf-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。
老男孩 2023-08-30 14:47:21
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