毕达哥拉斯简介

谈谈毕达哥拉斯定理与中国古代的“勾三股四弦五”发现的年代与根本区别有哪些？

根据中国历史记载，最早在公元前八百年“周髀算经”里记载了第一组勾股数：勾三股四弦五。

这在世界历史范围，大概是第四个发现勾股数的文明，前三个是两河流域文明，尼罗河文明，印度河文明。

恰好是世界历史上常说的：三大古老文明。

严格的说，仅仅找到一组勾股数还不代表古人完全清楚勾股定理的存在。

中国人严谨的证明勾股定理是比较早的，三国时期东吴数学家赵爽最先用割补法，是个非常漂亮的证明！稍后北魏的刘徽（中国古代第一数学家）也给出了一个不同的割补法。

在赵爽和刘徽之前，更早发现勾股数的世界三大古老文明，两河（即苏美尔，巴比伦），埃及，印度，都没有完成该定理的证明。

但赵爽还不是最早的证明者。

古希腊数学家毕达哥拉斯在约公元前500年时最先证明了该定理，所以国外一般称之为：毕达哥拉斯定理。

勾股定理是数学上极其重要和基本的定理。

欧几里得在“几何原本”里收录了毕达哥拉斯定理并给出来一个不同的证法，不过客观说，欧几里得的证法不如毕达哥拉斯的简洁漂亮。

毕达哥拉斯原版证明做边长为a+b的正方形，其面积为（a+b）2=a2+b2+2ab。

再把四边上分界点（分左右分别是a和b）依次连线，把大正方形分割为一圈四个直角三角形（直角边a和b，斜边c），以及中间一个内接正方形，边长为c，于是大正方形的面积也可算出为：4*?ab+c2，比较两式可知：a2+b2=c2。

从勾股定理到坐标从数学上的垂直与乘法相照应的关系，我们发现具有直角的几何图形会具有一些与算术相对应的特殊性质，这其中最重要的就是勾股定理——a^2+b^2=c^2。

这个小学必学的知识，其本质来源于面积，下面这张图可以清晰地让人理解到底是为什么。

现在让将勾股定理的方程稍加改造，得到一个二元方程：x^2+y^2=1^2什么是方程？一方程其实就是关系的表征，比如上面这个方程，是用勾股定理改造出来的。

所以我们同样可以将它以二维平面面积的方式来理解。

直角三角形其实就是长方形的两条边与一条对角线，所以将x和y作为长度来看，这个方程就可以解析成“在对角线长度固定的情况下，所有满足条件的长方形边长关系”。

把这些长方形都画出来，如果这些长方形对角线的一端重合，那么另一端的点就会构成一个弧形。

在这个弧形中每个点到重合点的距离都为1，也就是所谓的圆，上面这个方程也就变成了圆的方程。

通过上面的分析我们可以得到一个概念，那就是“坐标”，用两个边长去确定由它构成的直角三角形的顶点。

我们现在得到了两个“参数”与一个“规律”，用它们组成的数学式子就是“方程”。

为什么要从二维升到三维那么现在让我们进入三维世界吧，不过不是我们熟悉的那种进入，而是从简单粗暴地直接把圆的方程进行扩展，把x^2+y^2=1^2变成x^2+y^2+z^2=1^2会得到什么呢？答案是球面的方程，这个方程的意思是：在立方体的对角线长度为1的情况下，所有满足条件的立方体相互间的边长关系。

数学家的操作——加一维平方公式与立方公式。

ax十bX十cX十D=0。

这一方程公式，用任一自然整数代入，它的解一定是整数，这是确定无疑的。

那么。

a^2十b^2=c^2a^3十b^3十c^3=e^3。

而上面的平方公式和立方公式，甪任一自然整数代入，它的解就不一定是整数了。

而有整数解的数只有很少一部分了。

但代入怎样的自然整数才能使它们成为整数。

我们有。

3^2十4^2=5^2=25。

3^3十4^3十5^3=6^3=2l6。

（2X3）^2十（2X4）^2=（2X5）^2=100。

（2x3）^3十（3x4）^3十（3X5）^3=（3X6）^3=1728。

（3x3）^2十（3x4）^2=（3X5）^2=225。

（3X3）^3十（3x4）^3十（3X5）^3=（3X6）^2=5832。

由此可知：3X^2十4X^2=5X^23X^3十4X^2十5X^3=6X^3。

就这样，从平方整数解公式到立方解整数公式就这样完成了。

那么，这个立方整数解公式是一个什么样的球呢？那只有请一个农村老大娘给你用纸糊一个小朋友的钱罐子了。

所以对于勾股定理，有勾三股四弦五的说法，那么，对于立方整数解的公式应该有一个怎么样的说法呢。

好，到这儿为止都是我们可以轻松理解的东西，现在请你再看看圆与球的两个方程，如果你是数学家，你是不是觉得似乎可以顺水推舟地再做一些什么呢？

这是一个相关但属于两个层面的问题：勾股数，和勾股定理的证明。

中国历史记载，最早在“周髀算经”里记载了第一组勾股数：勾三股四弦五。

时间大约是公元前800-1000年左右。

这在世界历史范围，大概是第四个发现勾股数的文明，前三个是两河流域文明，尼罗河文明，印度河文明。

恰好是世界历史上常说的：三大古老文明。

（国人版加上中国自己合称4大文明）有明确考古佐证的，最早发现勾股数的文明是两河流域的苏美尔/巴比伦，现存于美国哥伦比亚大学博物馆编号plimpton322的泥石板（clay tablet）在约一百多年前在伊拉克被挖掘，考古证实为公元前1800多年前的文物（距今3800年），用楔形文字记录了多达15组勾股数（不过有个别错误）。

需要指出，这个文物的年代和汉谟拉比法典是同时期的，文字也一样。

严格的说，仅仅找到一组（或几组）勾股数还不代表古人完全清楚勾股定理的存在（更别说证明）。

不过中国人严谨的证明勾股定理是比较早的，三国时期东吴数学家赵爽最先用割补法，是个非常漂亮的证明！稍后北魏的刘徽（中国古代第一数学家）也给出了一个不同的割补法。

在赵爽和刘徽之前，更早发现勾股数的世界三大古老文明，两河（即苏美尔，巴比伦），埃及，印度，都没有完成该定理的证明。

但赵爽还不是最早的证明者。

古希腊数学家毕达哥拉斯在约公元前500年时最先证明了该定理（早于赵爽约800年），所以国外一般称之为：毕达哥拉斯定理。

需要指出，因为毕达哥拉斯学派的原则是一切发明归功于毕达哥拉斯本人。

所以其实我们并不确认这个定理的证明是真的出自毕达哥拉斯本人之手，还是他的某位信徒。

勾股定理（毕达哥拉斯定理）是数学上极其重要和基本的定理，也许是最重要的没有之一，是几乎一切数学的基础。

比如，除了几何学，它还激发了人们发现“无理数”：毕达哥拉斯的学生希帕索斯发现根据该定理可证√2不是有理数（不能写成分数）。

稍后的大哲学家柏拉图在自己庄园门口写着：不知√2为不可分数者不得入内。

柏拉图的学生，世界上第一位逻辑学集大成者亚里士多德整理了一份最精炼的√2为无理数的证明，时隔2300年后的今天，此证明迄今仍然是奥数入门培训的标准解答，也是我本人小时候学习逻辑学反证法的第一道例题。

欧几里得在“几何原本”里收录了毕达哥拉斯定理并给出来一个不同的证法，不过客观说，欧几里得的证法不如毕达哥拉斯的简洁漂亮。

勾股定理据说有500多种证法，甚至某任美国总统也发明过一个原创证明。

下面介绍几个我认为比较简单的证法：【毕达哥拉斯原版证明】做边长为a+b的正方形，其面积为（a+b）2=a2+b2+2ab。

再把四边上分界点（分左右分别是a和b）依次连线，把大正方形分割为一圈四个直角三角形（直角边a和b，斜边c），以及中间一个内接正方形，边长为c，于是大正方形的面积也可算出为：4*?ab+c2，比较两式可知：a2+b2=c2【相似直角三角形证法】从直角点做斜边的垂线h，分斜边c=d+e。

显然分割的两个小直角三角形都和原三角形相似，于是：a/c=d/a，b/c=e/b。

则a2=cd，b2=ce，即a2+b2=c*(d+e)=c2【复数证法】勾股定理等价于证明cos2x+sin2x=1。

根据欧拉表示法，复数e^ix=cosx+i*sinxe^-ix=cosx-i*sinx二者相乘得：（cosx+i*sinx）（cosx-i*sinx）=cos2x+sin2x=e^ix*e^-ix=e?=1