中考数学压轴题整理

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中考数学压轴题整理精选

1、（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.

O

A

B

C

M

N

（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；

（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.

提示：延长BA交y轴于点E。第（3）问，

证明△OAE≌△OCN,△OMN≌△OME,得MN=AM+CN.

27、（2009年宁波市）

（Q）

B

A

O

x

P

（图2）

y

Q

C

B

A

O

x

P

（图1）

y

C

B

A

O

y

x

（备用图）

（第27题）

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q．

（1）四边形OABC的形状是

，

当时，的值是

；

（2）①如图1，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；

②如图，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积．

（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

提示:第（3）问，过点Q作QH⊥OA＇于H，连接OQ，则QH=OC＇=OC,易证PQ=OP,设BP=x，BQ=2x；按旋转时点P在点B左、右两种情况分类讨论。

C’

E’

(拓展练习）4.如图，正方形AMBD的边长为6，C，E

C’’

分别在AD，BD上，且AC＝2，BE＝3，H、K是对角

线AB上的点。若∠AHC=∠DHB，∠BKE=∠DKA，

∠HDK的度数为______

简析:延长DH，DK分别交AM,BM于点C’,E’

在Rt

△C’ME’中,可得C’E’=5

延长MB到C’’，使BC’‘=2，可证

2．如图AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上

运动（不与A重合），以OC为直径的半圆M与半

圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。

（1）求证：CD是半圆O的切线；

（2）过点E作EF⊥AB于F，则有OA=2EF，请

说明理由。

●

P

D

E

A

C

B

3(2)

O

F

例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.

点O是边AC上的一个动点,以点O为圆心作半圆,与边AB相切于点D,交线段OC于点E.作EP⊥ED,交射线AB于点P,交射线CB于点F.

(1)求证:

△ADE∽△AEP.

(2)设OA=,AP=,求关于的函数解析式,并写出它的定义域.

(3)当BF=1时,求线段AP的长.

(2009年上海市)已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．

（1）当AD=2，且点与点重合时（如图2所示），求线段的长；

（2）在图中，联结．当，且点在线段上时，设点之间的距离为，，其中表示△APQ的面积，表示的面积，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当，且点在线段的延长线上时（如图3所示），求的大小．

A

D

P

C

B

Q

图1

D

A

P

C

B

（Q）

）

图2

图3

C

A

D

P

B

Q

(2009年义乌)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当时，折痕EF的长为；当点E与点A重合时，折痕EF的长为；

（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；

（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。

（2009年济宁市）如图，中，，，.半径为1的圆的圆心以1个单位/的速度由点沿方向在上移动，设移动时间为（单位：）.

（1）当为何值时，⊙与相切；

（2）作交于点，如果⊙和线段交于点，证明：当时，四边形为平行四边形.

（2009年广西钦州）如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，

A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．

（1）填空：点C的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；

（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；

（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

（09湖北宜昌）（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)，

MN为折痕，点M，N分别在边BC，

AD上，连接AP，MP，AM，

AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．

(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)与

是否相等？请你说明理由；

(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．

设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考)

图1

图2

图3

（2009年茂名市）如图，在中，点是边上的动点（点与点不重合），过动点作交于点

（1）若与相似，则是多少度？（2分）

（2）试问：当等于多少时，的面积最大？最大面积是多少？（4分）

（3）若以线段为直径的圆和以线段为直径的圆相外切，求线段的长．（4分）

（2009年山东青岛市）如图，在梯形ABCD中，，，，，点由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交于Q，连接PE．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：

（1）当为何值时，？

（2）设的面积为（cm2），求与之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．

（4）连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．

10、(2008

湖北

恩施)

如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若?ABC固定不动，?AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.

（2）求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.

（3）以?ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BD＋CE=DE.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD＋CE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

G

y

x

O

F

E

D

C

B

A

G

F

E

D

C

B

A

A

B

C

D

E

R

P

H

Q

（第1题图）

11、

（08浙江温州）如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于，当点与点重合时，点停止运动．设，．

（1）求点到的距离的长；

（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．

18、在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．

（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；

（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？

（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

A

B

C

M

N

P

图

3

O

A

B

C

M

N

D

图

2

O

A

B

C

M

N

P

图

1

O

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4，0)，点B(0，3)，点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ．若设运动的时间为t秒(0＜t＜2)．

(1)求直线AB的解析式；

(2)设△AQP的面积为，求与之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；

(4)连结PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．

4．在平面直角坐标系中，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，它与x轴的另一个交点为．点是抛物线对称轴与轴的交点，点为线段上的动点．

(1)求抛物线的解析式及点的坐标；

(2)如图①，若过动点的直线交抛物线对称轴于点．试问抛物线上是否存在点，使得以点为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；

(3)如图②，若过动点的直线交直线于，连接．当的面积最大时，求点的坐标？

图①

图②

21.(2006云南课改中考,25)如图1-3-8,在直角坐标系中,O为坐标原点,OABC的边OA在x轴上,∠B=60°,OA=6,OC=4,D是BC的中点,延长AD交OC的延长线于点E.

图1-3-8

(1)画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E1CD,并求出点E1的坐标;

(2)求经过C、E1、B三点的抛物线的函数表达式;

(3)请探求经过C、E1、B三点的抛物线上是否存在点P,使以点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似.若存在这样的点P,请求出点P的坐标;若不存在这样的点P,请说明理由.

9．(2010年江苏省泰州市济川实验初中中考模拟题)

如图1，把一个边长为2的正方形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在坐标原点，点C在y轴的正半轴上，经过B、C、D三点的抛物线c1交x轴于点M、N(M在N的左边).

(1)求抛物线c1的解析式及点M、N的坐标；

(2)如图2，另一个边长为2的正方形的中心G在点M上，、在x轴的负半轴上(在的左边)，点在第三象限，当点G沿着抛物线c1从点M移到点N，正方形随之移动，移动中始终与x轴平行.

①直接写出点、移动路线形成的抛物线、的函数关系式；

②如图3，当正方形第一次移动到与正方形ABCD有一边在同一直线上时，

求点G的坐标．

10.（2010广东省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，

A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC

，tan∠ACO＝．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.

_

y

_

x

_

O

_

E

_

D

_

C

_

B

_

A

图10

_

G

_

A

_

B

_

C

_

D

_

O

_

x

_

y

图11

A

y

x

B

E

F

O1

Q

O

O2

C

4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，）在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.

（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

（第9题图）

A

y

x

O

N

M

G

F

E

D

C

B

9.

如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为、，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.

(1)

若抛物线经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.

(2)

求直线DF的解析式.

(3)

是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.

12.（2005北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。

（1）试用含a的代数式表示b；

（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

A

·

B

C

D

E

F

G

M

x

y

O

16.（2005湖北荆门）已知：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°，

（1）求m的值及抛物线顶点坐标；

（2）过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；

（3）在（2）条件下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·AP＝k，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.

A

B

C

O

图8

H

例4（2004年·上海）如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半径为1.若点O在BC边上运动(与点B、C不重合),设BO=,△AOC的面积为.

(1)求关于的函数解析式,并写出函数的定义域.

(2)以点O为圆心,BO长为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积.

1．（09年徐汇区）如图，中，，，点在边上，且，以点为顶点作，分别交边于点，交射线于点．

（1）当时，求的长；

（2）当以点为圆心长为半径的⊙和以点为圆心长为半径的⊙相切时，

求的长；

（3）当以边为直径的⊙与线段相切时，求的长．

在矩形ABCD中，AB＝3，点O在对角线AC上，直线l过点O，且与AC垂直交AD于点E.(1)若直线l过点B，把△ABE沿直线l翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A＇重合，求BC的长；

A

B

C

D

E

O

l

A′

(2)若直线l与AB相交于点F，且AO＝AC，设AD的长为，五边形BCDEF的面积为S.①求S关于的函数关系式，并指出的取值范围；

②探索：是否存在这样的，以A为圆心，以长为半径的圆与直线l相切，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

[类题]

改编自09奉贤3月考25题，将条件（2）“当点M、N分别在边BA、CA上时”,去掉，同时加到第（3）题中.

A

B

F

D

E

M

N

C

已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30o，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N．

（1）求证：△BDM∽△CEN；

（2）设BD=，△ABC与△DEF重叠部分的面积为，求关于的函数解析式，并写出定义域．

（3）当点M、N分别在边BA、CA上时,是否存在点D，使以M为圆心,BM为半径的圆与直线EF相切,如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．

例1：已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，点C在⊙O上变化（不与A、B）重合，求∠ACB的大小

.

变式1：已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若，求∠C的大小.

变式2:

如图,半经为1的半圆O上有两个动点A、B，若AB=1，

判断∠AOB的大小是否会随点A、B的变化而变化，若变化，求出变化范围，若不变化，求出它的值。

四边形ABCD的面积的最大值。

例2：（2004年广州市中考题第11题）如图，⊙O1和⊙O2内切于A，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P为⊙O1上的任一点（与点A不重合），直线PA交⊙O2于点C，PB切⊙O2于点B，则的值为

（A）

（B）

（C）

（D）

例7：如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=4，OABC于O,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重合。

判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.

AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。

（即例3的第2、第3问）

分析：(2)本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设AE=x，则AF=，

而三角形AOB的面积与三角形AOE的面积之比=，而三角形AOB的面积=，则三角形AOE的面积=，同理三角形AOF的面积=，因此四边形AEOF的面积=；即AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.

当然，本题也可以这样思考，由于三角形AOE与三角形COF全等，则四边形AEOF的面积与三角形AOC的面积相等，而AOC的面积为2，因此AEOF的面积不会随点E、F的变化而变化，是一个定值，且为2.

本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.

第(3)问,也可以通过建立函数关系求得,AEF的面积=,又的变化范围为,由二次函数知识得AEF的面积的范围为:

AEF的面积.

本题也可以根据三角形AEF与三角形OEF的面积关系确定AEF的面积范围:

不难证明AEF的面积≤OEF的面积，它们公用边EF，取EF的中点H，显然由于OEF为等腰直角三角形，则OH⊥EF，作AG⊥EF，显然AG≤AH=AG（=），所以AEF的面积≤OEF的面积，而它们的和为2，因此AEF的面积.

本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：

比如，比较线段EF与AO长度大小等（可以通过A、E、O、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论）

练习1：2003年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）

已知ABC为直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB为直角，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上动点（与点B、C不重合）

（1）

如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点，求线段CP的长。

当PQ与AC不平行时，CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。

第1问很易得出P为AB中点，则CP=

第2问：如果CPQ为直角三角形，由于PQ与AC不平行，则∠Q不可能为直角

又点P不与A重合，则∠PCQ也不可能为直角，只能是∠CPQ为直角，即以CQ为直径的圆与AB有交点，设CQ=2x，CQ的中点D到AB的距离DM不大于CD，

，即，所以，由，即，而，故，亦即时，CPQ可能为直角三角形。

当然还有其它方法。同学们可以继续研究。

练习3、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点的横坐标为1，且过点和．

（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为）

（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；

C

B

A

练习4图

P

y

y

C

x

B

A

练习3图

（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角与的大小（不必证明），并写出此时点的横坐标的取值范围．

O

练习4

(2008广东湛江市)

如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

例2.

如图2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有动点P，使AP⊥BP，则这样的点有多少个？

分析：由条件AP⊥BP，想到以AB为直径作圆，若CD与圆相交，根据直径所对的圆周角是90°，两个交点即为点P；若CD与圆相切，切点即是点P；若CD与圆相离，则DC上不存在动点P，使AP⊥BP。

解：如图3，以AB为直径做⊙O，设⊙O与CD切于点E

因为∠B＝∠A＝90°

所以AD、BC为⊙O的切线

即AD＝DE，BC＝CE

所以AD＋BC＝CD

而条件中AD＋BC＜DC，我们把CD向左平移，如图4，CD的长度不变，AD与BC的长度缩短，此时AD＋BC＜DC，点O到CD的距离OE小于⊙O的半径OE，CD与⊙O相交，和是直径AB所对的圆周角，都为90°，所以交点即为所求。因此，腰DC上使AP⊥BP的动点P有2个。

例1

（2006年福建晋州）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.

1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；

2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）.

（1）求S关于t的函数关系式；

（2）求S的最大值.

例2．（2006年锦州市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).

1.求A、B两点的坐标；

2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；

3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？

3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

9（09兰州）如图①，正方形

ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），

点C在第一象限．动点P在正方形

ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，

设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

12（09太原）问题解决

图（2）

N

A

B

C

D

E

F

M

如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．

方法指导：

为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2

类比归纳

在图（1）中，若则的值等于

；若则的值等于

；若（为整数），则的值等于

．（用含的式子表示）

联系拓广

如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于

．（用含的式子表示）

【出自华夏】

1、已知正方形ABCD，E、F分别为BC、AB边上的点，且BE=BF，BH⊥CF于H，连结DH.

求证：DH⊥EH.

2、已知AD⊥BC于D，AE:ED=CD:BD,DF⊥BE于F，求证：AF⊥CF.

3、已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点，AE=3CE，F为AB边中点，求证：DE⊥EF.

4、已知B是AC的中点，D、E在AC的同侧，且∠ADB=∠EBC，∠A=∠C，

求证：∠BDE=∠BDA.

5、等腰△ADE中，AD=AE

（1）若∠DAE=90°，∠BAC=135°，求证：AD2=BD×CE；

（2）若∠BAC=100°，则当∠DAE为多少度时，AD2=BD×CE

6、已知四边形ABCD，AD⊥AB，BC⊥AB，BC=2AD，

DE⊥CD，

（1）求证：DE2=AE×CE；

（2）求证：；

（3）若△CDE与四边形ABCD的面积字之比为2：5，求的值。

7、已知AB∥CD，DB=DC，点E是BC的中点，

求证：

8、设△ABC中，D在BC上，且,求证：

9、正△ABC中，D在BC上，BD：DC=1:2，

求证：∠DBH=∠BAD.

11、如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为

，数量关系为

．

图甲

图乙

图丙

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

12、已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．

（1）求证：①；②是等腰三角形．

（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长交线段于点．求证：．

C

E

N

D

A

B

M

图①

C

E

M

B

D

N

图②

A

B

C

F

D

P

图3

A

B

C

D

P

图2

E

l

l

E

F

A

B

C

D

P

图１

l

E

F

13、在等边中，点为上一点，连结，直线与分别相交于点，且．

（1）如图1，写出图中所有与相似的三角形，并选择其中一对给予证明；

（2）若直线向右平移到图2、图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；

（3）探究：如图1，当满足什么条件时（其它条件不变），？请写出探究结果，并说明理由．

14、如图，已知：中，，将一块三角尺的直角顶点与斜边的中点重合，当三角尺绕着点旋转时，两直角边始终保持分别与边，交于

两点（不与重合）．

（1）求证：；

（2）求四边形的面积；

（3）若只将原题目中的“”

改为“”其它都不变，

请你探究：和还相等吗?如果相等，

请证明；如果不相等，请求出的值．

15、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，

CG=kb

(ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．

（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．

16、如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，以为直径的圆过点．若点的坐标为，，A、B两点的横坐标，是关于的方程的两根．

（1）求、的值；

（2）若平分线所在的直线交轴于点，

试求直线对应的一次函数解析式；

（3）过点任作一直线分别交射线、

（点除外）于点、．则的是

否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

17、如图，已知平面直角坐标系中的点，、为线段上两动点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，且.

（1）

（填“>”、“=”、“<”），与的函数关系是

（不要求写自变量的取值范围）；

（2）当时，求的度数；（3）证明:

的度数为定值.

18、在梯形中，∥,,且.对角线相交于点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点上，使三角板绕点旋转。

（1）如图1，当三角板旋转到点落在边上时，线段与的位置关系是

，数量关系是

；

（2）继续旋转三角板，旋转角为.请你在图2中画出图形，并判断（1）中结论还成立吗？如果成立请加以证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图3，当三角板的一边与梯形对角线重合时，与相交于点P，若，求的长。

图1

图2

图3

18、（1）如图1，为的角平分线，于，于，，请补全图形，并求与的面积的比值；

（2）如图2，分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角

形，与相交于点，判断与的数量关系，并证明；

（3）在四边形中，已知，且，对角线平分，

请直接写出和的数量关系.

20、如图1，已知△是等腰直角三角形，，点是的中点．作

正方形，使点分别在和上，连接．

（1）试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论．

（2）将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或

等于360°），如图2，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然

成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

（3）若，在的旋转过程中，当为最大值时，求的值．

A

C

B

F

D

E

G

图2

A

C

B

F

D

E

G

图1