江苏专版版高考数学复习立体几何初步练习文

江苏专版2018版高考数学复习立体几何初步练习文本文简介：第九章立体几何初步第49课平面的性质与空间直线的位置关系A应知应会1.给出下列三个命题:①书桌面是平面;②有一个平面的长是50m,宽是20m;③平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.其中正确命题的个数为.2.空间中,可以确定一个平面的条件是.(填序号)①两条直线;②一点和一条直线;③一

江苏专版2018版高考数学复习立体几何初步练习文本文内容：

第九章

立体几何初步

第49课

平面的性质与空间直线的位置关系

A

应知应会

1.

给出下列三个命题:

①书桌面是平面;

②有一个平面的长是50

m,宽是20

m;

③平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.

其中正确命题的个数为

.

2.

空间中,可以确定一个平面的条件是

.(填序号)

①两条直线;

②一点和一条直线;

③一个三角形;

④三个点.

3.

已知平面α与平面β,γ都相交,那么这三个平面的交线可能有

条.

4.

(2016·苏州十中)已知α,β为平面,A,B,M,N为不同的点,a为直线,下列推理错误的是

.(填序号)

①A∈a,A∈β,B∈a,B∈β

?a?β;

②M∈α,M∈β,N∈α,N∈β

?α∩β=MN;

③A∈α,A∈β?α∩β=A;

④A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线?α,β重合.

5.

如图,点P,Q,R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上,且PQ∩BC=X,QR∩CD=Z,PR∩BD=Y,试探究X,Y,Z三点的关系,并说明理由.

(第5题)

6.

在如图所示的正方体ABCD-A

B

C

D

中,E是棱A

D

的中点.

(1)

求异面直线AE和CC

所成角的正切值;

(2)

找出直线AE和BA

所成的角.

(第6题)

B

巩固提升

1.

若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的

(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.

2.

已知l1,l2,l3是空间中三条不同的直线,给出下列四个命题:

①l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3

;

②l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3;

③l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面;

④l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面.

其中正确的命题是

.(填序号)

(第3题)

3.

在如图所示的正方体中,M,N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角的大小为

.

4.

(2016·靖江中学)在空间四边形ABCD中,各边长均为1.若BD=1,则AC的取值范围是

.

5.

如图,点P,Q,R分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,BB1,DD1上,试作出过P,Q,R三点的截面图.

(第5题)

6.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.

(1)

求证:C1,O,M三点共线;

(2)

求证:E,C,D1,F四点共面.

(第6题)

第50课

线面平行与面面平行

A

应知应会

1.

已知直线l,m,平面α,且m?α,那么“l∥m”是“l∥α”的

(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.

2.

若直线l上有相异的三个点A,B,C到平面α的距离相等,则直线l与平面α的位置关系是

.

3.

在长方体的所有面中,互相平行的面共有

对.

4.

给出下列四个命题:

①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面互相平行;

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;

③平行于同一条直线的两个平面互相平行;

④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.

其中为真命题的是

.(填序号)

5.

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为线段A1A,C1B的中点,求证:EF∥平面ABC.

(第5题)

6.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC和SC的中点,求证:平面EFG∥平面BDD1B1.

(第6题)

B

巩固提升

1.

(2016·东莞二模)已知平面α,β和直线m,给出以下条件:①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β.由这五个条件中的两个同时成立能推导出m∥β的是

.(填序号)

2.

下列命题正确的是

.(填序号)

①若直线a不在平面α内,则a∥α;

②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;

③若直线l与平面α平行,则l与α内任何一条直线都没有公共点;

④平行于同一平面的两条直线可以相交.

3.

(2016·南京三模)已知α,β是两个不重合的平面,l,m是两条不同的直线,l⊥α,m?β.给出下列四个命题:

①α∥β?l⊥m;

②α⊥β?l∥m;

③m∥α?l⊥β;

④l⊥β?m∥α.

其中正确的命题是

.(填序号)

4.

下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出直线AB∥平面MNP的图形是

.

(填序号)

(第4题)

5.

(2016·合肥模拟改编)如图,在四棱锥E-ABCD中,△ABD为正三角形.若AB⊥BC,M,N分别为线段AE,AB的中点,求证:平面DMN∥平面BEC.

(第5题)

6.

(2015·南通期末)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,CC1=4,M是棱CC1上的一点,N是AB的中点,且CN∥平面AB1M,求CM的长.

(第6题)

第51课

直线与平面、平面与平面的垂直

A

应知应会

1.

在一个平面内,和这个平面的一条斜线垂直的直线有

条.

2.

已知四边形ABCD为梯形,AB∥CD,l为空间的一条直线,则“l垂直于两腰AD,BC”是“l垂直于两底AB,DC”的

(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)条件.

3.

已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面,下列说法正确的是

.(填序号)

①若m∥α,n∥α,则m∥n;

②若m⊥α,n?α,则m⊥n;

③若m⊥α,m⊥n,则n∥α;

④若m∥α,m⊥n,则n⊥α.

4.

已知两条不同的直线a,b与三个不重合的平面α,β,γ,那么能使α⊥β的条件是

.(填序号)

①α⊥γ,β⊥γ;

②α∩β=a,b⊥a,b?β;

③a∥β,a∥α;

④a∥α,a⊥β.

5.

(2015·扬州期末改编)如图,在三棱锥P-ABC中,D为AB的中点.若PA=PB,且锐角三角形PCD所在平面与平面ABC垂直,求证:

AB⊥PC.

(第5题)

6.

(2016·盐城三模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E,F分别为棱AB,PC的中点.

(1)

求证:EF∥平面PAD;

(2)

求证:平面PDE⊥平面PEC.

(第6题)

B

巩固提升

1.

(2015·泰州期末)若α,β是两个相交平面,则下列命题正确的是

.(填序号)

①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;

②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;

③若直线m?α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;

④若直线m?α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.

2.

(2016·贵阳检测)如图,在三棱锥P-ABC中,不能证明AP⊥BC的条件是

.(填序号)

①AP⊥PB,AP⊥PC;

②AP⊥PB,BC⊥PB;

③平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC;

④AP⊥平面PBC.

(第2题)

3.

已知P为△ABC所在平面外一点,且PA,PB,PC两两垂直,给出下列四个命题:

①PA⊥BC;

②PB⊥AC;

③PC⊥AB;

④AB⊥BC.

其中正确命题的个数是

.

4.

(2016·济南名校联考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下面命题正确的是

.(填序号)

①平面ABD⊥平面ABC;

②平面ADC⊥平面BDC;

③平面ABC⊥平面BDC;

④平面ADC⊥平面ABC.

(第4题)

5.

(2016·苏州期末)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,A1C1与B1D1交于点O.

(1)

求证:A1,C1,F,E四点共面;

(2)

若底面ABCD是菱形,且OD⊥A1E,求证:OD⊥平面A1C1FE.

(第5题)

6.

(2016·苏州、无锡、常州、镇江二模)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,PA⊥平面ABCD,M是AD的中点,N是PC的中点.

(1)

求证:MN∥平面PAB;

(2)

若平面PMC⊥平面PAD,求证:CM⊥AD.

(第6题)

第52课

空间几何体的表面积与体积

A

应知应会

1.

若两个球的表面积之比为1∶4,则这两个球的体积之比为

.

2.

若圆锥的底面半径为1,高为2,则圆锥的侧面积为

.

3.

(2015·南通、扬州、淮安、连云港二调)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3

cm,AD=2

cm,AA1=1

cm,则三棱锥B1-ABD1的体积为

cm3.

(第3题)

4.

(2015·泰州二模)若圆柱的侧面积和体积都是12π,则该圆柱的高为

.

5.

已知正四棱锥的底面是边长为4

cm的正方形,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧面积和表面积.

6.

(2016·福州质检)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,EF∥AC,AD=2,EA=ED=EF=.

(1)

求证:AD⊥BE;

(2)

若BE=,求三棱锥F-BCD的体积.

(第6题)

B

巩固提升

1.

(2016·苏州期末)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,若这三个圆锥的底面半径依次为r1,r2,r3,则r1+r2+r3=

.

(第2题)

2.

(2016·南京、盐城、连云港、徐州二模)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=4,AA1=6.若E,F分别是棱BB1,CC1上的点,则三棱锥A-A1EF的体积是

.

3.

(2016·扬州中学)有一根高为3π

cm,底面半径为1

cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为

cm.

4.

有一个表面积为12π的圆柱,那么当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为

.

5.

(2016·武汉模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,一只蚂蚁沿侧面CC1D1D从点C出发,经过棱DD1上的一点M到达点A1,当蚂蚁所走的路径最短时.

(1)

求B1M的长;

(2)

求证:B1M⊥平面MAC.

(第5题)

6.

(2016·广州模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是C1C上的一点.

(1)

当CF=2时,求证:B1F⊥平面ADF;

(2)

若FD⊥B1D,求三棱锥B1-ADF的体积.

(第6题)

第53课

立体几何综合

A

应知应会

1.

四面体的四个面中最多可以有

个直角三角形.

2.

经过平面外一点作与此平面垂直的平面,则这样的平面可以作

个.

3.

已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,下列命题正确的是

.(填序号)

①若α⊥β,m?α,n?β,则m⊥n;

②若α∥β,m?α,n?β,则m∥n;

③若m⊥n,m?α,n?β,则α⊥β;

④若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β.

4.

(2016·南昌调研)已知两个不重合的平面α,β和两条不同的直线m,n,下列四个命题不正确的是

.(填序号)

①若m∥n,m⊥α,则n⊥α;

②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;

③若m⊥α,m∥n,n?β,则α⊥β;

④若m∥α,α∩β=n,则m∥n.

5.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD=CD=AB,AB∥DC,AD⊥CD,PC⊥平面ABCD.

(1)

求证:BC⊥平面PAC;

(2)

若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与PB交于点N,求PN∶PB的值.

(第5题)

6.

如图(1),在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的一点,且满足AE=FC=CP=1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFCB,连接A1B,A1P,如图(2)所示.

(1)

若Q为A1B的中点,求证:PQ∥平面A1EF;

(2)

求证:A1E⊥EP.

图(1)

图(2)

(第6题)

B

巩固提升

1.

在正四面体ABCD中,E是AB的中点,那么异面直线CE与BD所成角的余弦值为

.

(第2题)

2.

如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在直线

上.

3.

(2016·苏州园区调研)已知△ABC为等腰直角三角形,斜边BC上的中线AD=2.若将△ABC沿AD折成60°的二面角,连接BC,则三棱锥C-ABD的体积为

.

(第4题)

4.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下四个结论:

①直线D1C∥平面A1ABB1;

②直线A1D1与平面BCD1相交;

③直线AD⊥平面D1DB;

④平面BCD1⊥平面A1ABB1.

其中正确的结论是

.(填序号)

5.

如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且==λ(00,所以00;当r∈(,)时,f

(r)<0.所以f(r)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,故Vmax=f(r)max=f(),此时r=,h=2,故=.

5.

【解答】(1)

将侧面CC1D1D沿D1D展开,连接A1C交D1D于点M,此时M为D1D的中点,且蚂蚁所走的路径最短.

因为A1B1=A1D1=1,D1D=2,则B1D1==,D1M=D1D=1,所以B1M===.

(2)

因为CM2=CD2+DM2=2,B1C2=BC2+B=5,AM2=AD2+DM2=2,B1A2=B+AB2=5,所以B1M2+CM2=B1C2=5,B1M2+AM2=B1A2=5,所以B1M⊥MC,B1M⊥AM.

又AM∩CM=M,所以B1M⊥平面MAC.

6.

【解答】(1)

因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为B1B⊥底面ABC,AD?底面ABC,所以AD⊥B1B.

又BC∩B1B=B,所以AD⊥平面B1BCC1.

因为B1F?平面B1BCC1,所以AD⊥B1F.

在矩形B1BCC1中,C1F=CD=1,B1C1=CF=2,所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1,所以∠CFD=∠C1B1F,所以∠CFD+∠C1FB1=∠C1B1F+∠C1FB1=90°,所以∠B1FD=90°,所以B1F⊥FD.

因为AD∩FD=D,所以B1F⊥平面ADF.

(2)

因为AD⊥平面B1DF,AD=2

.

因为D是BC的中点,所以CD=1.

在Rt△B1BD中,BD=CD=1,BB1=3,所以B1D==.

因为FD⊥B1D,所以Rt△CDF∽Rt△BB1D,所以=,所以DF=×=,所以==·AD=××××2

=.

第53课

立体几何综合

A

应知应会

1.

4

【解析】如图,SA⊥平面ABC,△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°,则BC⊥平面SAB,从而BC⊥SB,所以△SAB,△SAC,△ABC,△SBC都是直角三角形.

(第1题)

2.

无数

【解析】经过平面外一点作与此平面垂直的直线有且仅有一条,但过此直线的平面都与已知平面垂直,从而有无数个.

3.

④

4.

④

【解析】两条平行线中的一条垂直于某一平面,则另一条也垂直于该平面,故①正确;垂直于同一直线的两个平面平行,故②正确;若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n?β,所以α⊥β,故③正确;当m∥α,α∩β=n时,m,n也可能为异面直线,故④错误.

5.

【解答】(1)

设AD=1.因为AD=CD=AB,所以CD=1,AB=2.

因为∠ADC=90°,所以AC=,∠CAB=45°.

在△ABC中,由余弦定理得BC=,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC.

因为PC⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以BC⊥PC.

因为PC?平面PAC,AC?平面PAC,PC∩AC=C,所以BC⊥平面PAC.

(2)

如图,因为AB∥DC,CD?平面CDMN,AB?平面CDMN,所以AB∥平面CDMN.

(第5题)

因为AB?平面PAB,平面PAB∩平面CDMN=MN,所以AB∥MN.

在△PAB中,因为M为线段PA的中点,所以N为线段PB的中点,即PN∶PB的值为.

6.

【解答】(1)

如图(1),取A1E的中点M,连接QM,MF.

在△A1BE中,Q,M分别为A1B,A1E的中点,所以QM∥BE且QM=BE.

因为==,所以PF∥BE且PF=BE,所以QM∥PF且QM=PF,所以四边形PQMF为平行四边形,所以PQ∥FM.

又因为FM?平面A1EF,且PQ?平面A1EF,所以PQ∥平面A1EF.

(第6题(1))

(2)

如图(2),取BE的中点D,连接DF.

因为AE=CF=1,DE=1,所以AF=AD=2.

又∠A=60°,即△ADF是正三角形.

又因为AE=ED=1,所以EF⊥AD.

所以在立体图形中有A1E⊥EF.

因为平面A1EF⊥平面EFCB,平面A1EF∩平面EFCB=EF,A1E?平面A1EF,所以A1E⊥平面EFCB.

又EP?平面EFCB,所以A1E⊥EP.

(第6题(2))

B

巩固提升

1.

【解析】如图,设AD的中点为F,连接EF,CF,则EF∥BD,所以异面直线CE与BD所成的角即为∠CEF.设正四面体ABCD的棱长为2a,则EF=a,CE=CF=a,由余弦定理可得cos

∠CEF=

=.

(第1题)

2.

AB

【解析】

由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,得AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上.

3.

【解析】如图,因为BD⊥AD,CD⊥AD,所以∠BDC即为二面角B-AD-C的平面角,即∠BDC=60°.因为BD=DC=2,所以△BDC的面积为×2×2×=.因为AD⊥平面BDC,所以V=×AD×S△DBC=.

(第3题)

4.

①④

【解析】对于①,连接A1B,因为D1C∥A1B,D1C?平面A1ABB1,A1B?平面A1ABB1,所以D1C∥平面A1ABB1,故①正确;对于②,由题图易知A1D1?平面BCD1,故②错误;对于③,AD⊥DD1,所以AD只与平面D1DB内的一组平行直线垂直,故③错误;对于④,因为正方体ABCD-A1B1C1D1,所以BC⊥平面A1ABB1,又BC?平面BCD1,所以平面BCD1⊥平面A1ABB1,故④正确.

5.

【解答】(1)

因为

AB⊥平面BCD,CD?平面BCD,所以AB⊥CD.

因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.

又因为==λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.

所以EF⊥平面ABC.

又EF?平面BEF,所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.

(2)

由(1)知BE⊥EF.

因为平面BEF⊥平面ACD,平面BEF∩平面ACD=EF,BE?平面BEF,所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.

因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,所以BD=,AB=tan

60°=,所以AC==.

由AB2=AE·AC,得AE=,所以λ==.

故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.

6.

【解答】(1)

在图(1)中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,所以BE⊥AC,即在图(2)中,BE⊥A1O,BE⊥OC.

因为A1O∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC.

又DE=BC=a,BC∥DE,所以四边形BCDE是平行四边形,所以CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.

(2)

因为平面A1BE⊥平面BCDE,平面A1BE∩平面BCDE=BE,A1O?平面A1BE,又由(1)知A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.

由图(1)知A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2,从而四棱锥A1-BCDE的体积V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36,得a=6.