高考物理双基突破（二）专题32电磁感应中的“单杆”模型精讲

2019年高考物理双基突破（二）专题32电磁感应中的“单杆”模型精讲本文简介：专题32电磁感应中的“单杆”模型单杆模型是电磁感应中常见的物理模型，此类题目所给的物理情景一般是导体棒垂直切割磁感线，在安培力、重力、拉力作用下的变加速直线运动或匀速直线运动，所涉及的知识有牛顿运动定律、功能关系、能量守恒定律等。1．此类题目的分析要抓住三点：（1）杆的稳定状态一般是匀速运动（达到最

2019年高考物理双基突破（二）专题32电磁感应中的“单杆”模型精讲本文内容：

专题32

电磁感应中的“单杆”模型

单杆模型是电磁感应中常见的物理模型，此类题目所给的物理情景一般是导体棒垂直切割磁感线，在安培力、重力、拉力作用下的变加速直线运动或匀速直线运动，所涉及的知识有牛顿运动定律、功能关系、能量守恒定律等。

1．此类题目的分析要抓住三点：

（1）杆的稳定状态一般是匀速运动（达到最大速度或最小速度，此时合力为零）。

（2）整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功。

（3）电磁感应现象遵从能量守恒定律。如图甲，导体棒ab从磁场上方h处自由释放，当进入磁场后，其速度随时间的可能变化情况有三种，如图乙，全过程其能量转化情况是重力势能转化为动能和电能，电能再进一步转化为导体棒和电阻R的内能。

2．单杆模型中常见的情况及处理方法：

（1）单杆水平式

v0≠0

v0＝0

示

意

图

单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，质量为m，电阻不计，两导轨间距为L

轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L

轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定

轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两导轨间距为L，拉力F恒定

力

学

观

点

导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝＝，安培力F＝BIL＝，做减速运动：v?F?a，当v＝0时，F＝0，a＝0，杆保持静止

S闭合，ab杆受安培力F＝，此时a＝，杆ab速度v?感应电动势BLv?I?安培力F＝BIL?加速度a，当E感＝E时，v最大，且vm＝

开始时a＝，杆ab速度v?感应电动势E＝BLv?I?安培力F安＝BIL，由F－F安＝ma知a，当a＝0时，v最大，vm＝

开始时a＝，杆ab速度v?感应电动势E＝BLv，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL（v＋Δv），Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C（E′－E）＝

CBLΔv电流I＝＝CBL＝CBLa安培力F安＝BLI＝CB2L2a

F－F安＝ma，a＝，所以杆以恒定的加速度匀加速运动

图

象

观

点

能

量

观

点

动能全部转化为内能：Q＝mv

电源输出的电能转化为动能W电＝mv

F做的功一部分转化为杆的动能，一部分产生电热：WF＝Q＋mv

F做的功一部分转化为动能，一部分转化为电场能：WF＝mv2＋EC

【题1】如图所示，间距为L，电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m，电阻也为R的金属棒，金属棒与导轨接触良好。整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v0沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q。下列说法正确的是

A．金属棒在导轨上做匀减速运动

B．整个过程中电阻R上产生的焦耳热为

C．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为

D．整个过程中金属棒克服安培力做功为

【答案】D

【题2】如图所示，足够长的平行金属导轨内有垂直纸面向里的匀强磁场，金属杆ab与导轨垂直且接触良好，导轨右端与电路连接．已知导轨相距为L，磁场的磁感应强度为B，R1、R2和ab杆的电阻值均为r，其余电阻不计，板间距为d、板长为4d，重力加速度为g，不计空气阻力．如果ab杆以某一速度向左匀速运动时，沿两板中心线水平射入质量为m、带电荷量为＋q的微粒恰能沿两板中心线射出，如果ab杆以同样大小的速度向右匀速运动时，该微粒将射到B板距其左端为d的C处。

（1）求ab杆匀速运动的速度大小v；

（2）求微粒水平射入两板时的速度大小v0；

（3）如果以v0沿中心线射入的上述微粒能够从两板间射出，试讨论ab杆向左匀速运动的速度范围。

【答案】（1）（2）（3）

t1＝⑩

由⑧⑨⑩得：a1

若a1的方向向上，设ab杆运动的速度为v1，两板电压为：U1＝BLv1?

又有：－mg＝ma1?

联立???式得：v1?，

所以ab杆向左匀速运动时速度的大小范围为

方法技巧：巧用功能关系以及能量守恒思想1、在电磁感应现象中，当安培力是变力时，无法

直接求安培力做的功，这时要用功能关系和能量守恒的观点来分析问题。2、一个注意点：在应用能

量守恒观点解决电磁感应问题时，一定要分析清楚能量的转化情况，尤其要注意电能往往只是各种

形式能转化的中介。

3．单棒导体切割磁感线一般运动过程

类型

“电—动—电”型

“动—电—动”型

示意图

已知量

棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑水平，电阻不计

棒ab长L，质量m，电阻R；导轨光滑，电阻不计

过程分

析（↑表

示增大，

↓表示减

小，→

表示推

出）

S闭合，棒ab受安培力F＝，此时加速度a＝，棒ab速度v↑→感应电动势E′＝BLv↑→电流I↓→安培力F＝BIL↓→加速度a↓，当安培力F＝0时，a＝0，v最大，最后匀速运动

棒ab释放后下滑，此时加速度a＝gsin

α，棒ab速度v↑→感应电动势E＝BLv↑→电流I＝↑→安培力F＝BIL↑→加速度a↓，当安培力F＝mgsin

α时，a＝0，v最大，最后匀速运动

能量转

化分析

通过安培力做功，电能一部分转化

为杆的动能，一部分转化为焦耳热

重力势能一部分转化为杆动能，一部分通过克服安培力做功转化为电能，又通过电阻转化为焦耳热

4．收尾状态

收

尾

状

态

形式

匀速直线运动

形式

匀速直线运动

力学

a＝0

v恒定不变

力学

a＝0

v最大vm

电学

I恒定

电学

I恒定

5．两种状态及处理方法

状态

特征

处理方法

平衡态

加速度为零

根据平衡条件列式分析

非平衡态

加速度不为零

根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析

【题7】相距L＝1.5

m的足够长金属导轨竖直放置，质量为m1＝1

kg的金属棒ab和质量为m2＝0.27

kg的金属棒cd均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图（a）所示，虚线上方磁场方向垂直纸面向里，虚线下方磁场方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。ab棒光滑，cd棒与导轨间的动摩擦因数为μ＝0.75，两棒总电阻为1.8

Ω，导轨电阻不计。ab棒在方向竖直向上，大小按图（b）所示规律变化的外力F作用下，从静止开始，沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放。（g取10

m/s2）

（1）求出磁感应强度B的大小和ab棒加速度的大小；

（2）已知在2s内外力F做功40J，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；

（3）判断cd棒将做怎样的运动，求出cd棒达到最大速度所需的时间t0，并在图（c）中定性画出cd棒所受摩擦力fcd随时间变化的图象。

【答案】（1）1.2

T

1

m/s2（2）18

J（3）2

s

图见解析

（2）在2

s末金属棒ab的速率vt＝at＝2

m/s所发生的位移s＝at2＝2

m

由动能定理得WF－m1gs－W安＝m1v，

又Q＝W安

联立以上方程，解得Q＝WF－m1gs－m1v＝40

J－1×10×2

J－×1×22

J＝18

J。

（3）cd棒先做加速度逐渐减小的加速运动，当cd棒所受重力与滑动摩擦力相等时，速度达到最大；

然后做加速度逐渐增大的减速运动，最后停止运动。

当cd棒速度达到最大时，有m2g＝μFN，

又FN＝F安，F安＝BIL，I＝＝，vm＝at0，

整理解得t0＝＝

s＝2

s

fcd随时间变化的图象如图所示。

【题8】（多选）如图所示，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，左侧为半径为R的光滑圆弧轨道，其最低位置与右侧水平粗糙平直导轨相切，右端接一个阻值为r的定值电阻。平直导轨部分的左边区域有宽度为d、磁感应强度大小为B、方向竖直的匀强磁场质量为m、电阻也为r的金属棒从圆弧轨道最高处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止。已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，金属棒与导轨间接触良好。则在此过程中，以下说法正确的是

A．金属棒在磁场中做匀减速运动

B．通过金属棒横截面的电荷量为

C．定值电阻r产生的焦耳热为mg（R－μd）

D．金属棒运动到圆弧轨道最低位置时对轨道的压力为3mg

【答案】CD

错误；通过金属棒横截面的电荷量为q＝Δt，又＝，＝，则得q＝＝，故B错误；根据能量守恒定律得：定值电阻r产生的焦耳热为Q＝（mgR－μmgd）＝mg（R－μd），故C正确；设金属棒运动到圆弧轨道最低位置时速度为v，金属棒在圆弧轨道运动过程中，根据机械能守恒定律得：mgR＝mv2，在轨道最低位置时，由牛顿第二定律得：N－mg＝m，联立解得：轨道对金属棒的支持力为：N＝3mg，根据牛顿第三定律得金属棒对轨道的压力为：N′＝N＝3mg，故D正确。

【题9】如图甲所示，匀强磁场的磁感应强度B为0.5

T，其方向垂直于倾角θ为30°的斜面向上。绝缘斜面上固定有“∧”形状的光滑金属导轨MPN（电阻忽略不计），MP和NP长度均为2.5

m，MN连线水平，长为3

m。以MN中点O为原点，OP为x轴建立一维坐标系Ox。

一根粗细均匀的金属杆CD，长度d为3

m、质量m为1

kg、电阻R为0.3

Ω，在拉力F的作用下，从MN处以恒定速度v＝1

m/s在导轨上沿x轴正向运动（金属杆与导轨接触良好）。g取10

m/s2

（1）求金属杆CD运动过程中产生的感应电动势E及运动到x＝0.8

m处电势差UCD；

（2）推导金属杆CD从MN处运动到P点过程中拉力F与位置坐标x的关系式，并在图乙中画出F－x关系图象；

（3）求金属杆CD从MN处运动到P点的全过程产生的焦耳热。

【答案】（1）1.5

V

－0.6

V（2）F＝12.5－3.75x（m）

图象见解析（3）7.5

J

（2）金属杆做匀速直线运动，故始终受力平衡，即F＝mgsin

θ＋BIl

I＝

所其中l＝d＝3

m－x，Rx＝l×0.1

Ω/m

代入可得F＝12.5－3.75x

（m）（0≤x≤2）

关系图象如下图所示

所以F＝mgsin

θ＋