江苏高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ第10课函数的图象教师用书

江苏高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ第10课函数的图象教师用书本文简介：第10课函数的图象[最新考纲]内容要求ABC函数的图象√1．利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；(4)描点连线．2．利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换①y＝f(x)的图象y＝－f(

江苏高考数学复习函数概念与基本初等函数Ⅰ第10课函数的图象教师用书本文内容：

第10课函数的图象

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

函数的图象

√

1．利用描点法作函数的图象

方法步骤：(1)确定函数的定义域；

(2)化简函数的解析式；

(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；

(4)描点连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；

②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；

③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；

④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．

(3)伸缩变换

①y＝f(x)的图象

y＝f(ax)的图象；

②y＝f(x)的图象

y＝af(x)的图象．

(4)翻转变换

①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；

②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(

)

(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(

)

(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．(

)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(

)

[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2．(教材改编)甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象分别是________、________.(填序号)

①

②

③

④

图10-1

①

④

[设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙跑，依题意V甲骑＞V乙骑＞V乙跑＞V甲跑．]

3．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝________.

e－x－1

[依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]

4．(2016·浙江高考改编)函数y＝sin

x2的图象是________．(填序号)

图10-2

④

[∵y＝sin(－x)2＝sin

x2，

∴函数为偶函数，可排除①和③；当x＝时，sin

x2＝sin

≠1，排除②.]

5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．

(0，＋∞)

[在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解．]

作函数的图象

作出下列函数的图象：

(1)y＝|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|；

(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.

[解]

(1)先作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．

①

②

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.

(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.

③

④

(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.

[规律方法]

画函数图象的一般方法

(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；

(2)图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．

易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

[变式训练1]

分别画出下列函数的图象：

(1)y＝|lg

x|；(2)y＝sin|x|.

[解]

(1)∵y＝|lg

x|＝

∴函数y＝|lg

x|的图象，如图①.

(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin

x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.

识图与辨图

(1)(2016·全国卷Ⅰ改编)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为________．(填序号)

图10-3

(2)如图10-4，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为________．(填序号)

【导学号：62172054】

图10-4

①

②

③

④

(1)④

(2)②

[(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除①，②.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除③.

(2)当x∈时，f(x)＝tan

x＋，图象不会是直线段，从而排除①，③.

当x∈时，f＝f＝1＋，f＝2.

∵20)的图象，

使它与直线y＝kx－1(x>0)的交点个数为2即可．

当直线y＝kx－1与y＝ln

x的图象相切时，设切点为(m，ln

m)，又y＝ln

x的导数为y′＝，

即km－1＝ln

m，k＝，解得m＝1，k＝1，

可得函数y＝ln

x(x>0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，

结合图象可知k∈(0,1)时两函数图象有两个交点．]

角度4

求不等式的解集

函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图10-7所示，那么不等式＜0的解集为________．

图10-7

∪

[在上，y＝cos

x＞0，在上，y＝cos

x＜0.

由f(x)的图象知在上＜0，

因为f(x)为偶函数，y＝cos

x也是偶函数，

所以y＝为偶函数，

所以＜0的解集为∪.]

[规律方法]

函数图象应用的常见题型与求解方法

(1)研究函数性质：

①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．

②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．

③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．

(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．

(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

[思想与方法]

1．识图

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

2．用图

借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x)的解的个数，求不等式的解集等．

[易错与防范]

1．图象变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错．

2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．

3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．

课时分层训练(十)

A组

基础达标

(建议用时：30分钟)

一、填空题

1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点向右平移________个单位长度．

1

[因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象．]

2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)

①

②

③

④

图10-8

③

[出发时距学校最远，先排除①，中途堵塞停留，距离没变，再排除④，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除②.]

3．(2017·南京模拟)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是________．(填序号)

【导学号：62172056】

①

②

③

④

图10-9

②

[由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x>1时，y>0.]

4．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．

(0,1]

[作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：

由图可知k∈(0,1]．]

5．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．

[先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与射线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.]

6．已知函数f(x)的图象如图10-10所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．

图10-10

(2,8]

[当f(x)＞0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，

由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0时，x∈(2,8]．]

7．如图10-11，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.

【导学号：62172057】

图10-11

f(x)＝

[当－1≤x≤0时，

设解析式为y＝kx＋b，

则得∴y＝x＋1.

当x＞0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1.

∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，

得a＝，即y＝(x－2)2－1.

综上，f(x)＝]

8．(2015·安徽高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．

－

[函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－.]

9．如图10-12，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．

图10-12

{x|－10在R上恒成立，求m的取值范围．

[解]

(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，

G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示：

由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个解；

当00)，H(t)＝t2＋t，

因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，

所以H(t)>H(0)＝0.

因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．

4．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝f(x)＋，g(x)在区间(0,2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．

[解]

(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，

∵点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(－x,2－y)在h(x)的图象上，

∴2－y＝－x＋＋2，

∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.

(2)由题意g(x)＝x＋，

且g(x)＝x＋≥6，x∈(0,2]．

∵x∈(0,2]，∴a＋1≥x(6－x)，

即a≥－x2＋6x－1.

令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0,2]，

q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，

∴x∈(0,2]时，q(x)max＝q(2)＝7，

故a的取值范围为[7，＋∞)．