矩阵等价是什么意思
精选回答
一米阳光 2024-02-22 13:31:13
矩阵等价是什么意思
在线性代数和矩阵论中,有两个m×n阶矩阵A和B,如果这两个矩阵满足B=Q-1AP(P是n×n阶可逆矩阵,Q是m×m阶可逆矩阵),那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说,存在可逆矩阵,A经过有限次的初等变换得到B。
性质
1、矩阵A和A等价(反身性);
2、矩阵A和B等价,那么B和A也等价(等价性);
3、矩阵A和B等价,矩阵B和C等价,那么A和C等价(传递性);
4、矩阵A和B等价,那么IAI=KIBI。(K为非零常数);
5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解;
6、对于相同大小的两个矩形矩阵,它们的等价性也可以通过以下条件来表征:
(1)矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
(2)当且仅当它们具有相同的秩时,两个矩阵是等价的。
扩展资料:
证明
a1,a2,an,线性无关,而a1,a2,an,b,r线性相关,所以有x1a1+x2a2+.xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+.xnan+xb=0,说明a1,a2,an,b线性相关,同理x=0,可得a1,a2,an,r线性相关。
若x,y都不为零,两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+.+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,an,r.表示。若除以y可证明r可以用a1,a2,an,b表示。这就说明a1,a2,an,b与a1,a2,an,r等价.综合可得命题得证。
当A和B为同型矩阵,且r(A)=r(B)时,A,B一定等价。
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