届高考数学二轮复习专题二导数第4讲导数及其应用学案

2019届高考数学二轮复习专题二导数第4讲导数及其应用学案本文简介：第4讲导数及其应用1.导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等．2.研究函数零点的本质就是研究函数的极值的

2019届高考数学二轮复习专题二导数第4讲导数及其应用学案本文内容：

第4讲

导数及其应用

1.

导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等．

2.

研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，其主要考查方式有：(1)

确定函数的零点、图象交点的个数；(2)

由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．

1.

若a＞1，则函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0，2)内零点的个数为________．

答案：1

解析：f′(x)＝x2－2ax，由a＞1可知，f′(x)在x∈(0，2)时恒为负，即f(x)在(0，2)内单调递减．又f(0)＝1＞0，f(2)＝－4a＋1＜0，所以f(x)在(0，2)内只有一个零点．

2.

(2018·南通中学)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3m，x∈[0，＋∞)．若f(x)＋5≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．

答案：

解析：f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x0，且b≠1，函数f(x)＝ex＋bx，其中e为自然对数的底数．

(1)

对满足b>0，且b≠1的任意实数b，证明函数y＝f(x)的图象经过唯一定点；

(2)

如果关于x的方程f(x)＝2有且只有一个解，求实数b的取值范围．

解：(1)假设y＝f(x)过定点(x0，y0)，则y0＝ex0＋bx0对任意b>0，且b≠1恒成立．

令b＝2得y0＝ex0＋2x0；令b＝3得y0＝ex0＋3x0，

所以2x0＝3x0，即

＝1，解得唯一解x0＝0，所以y0＝2，

经检验当x＝0时，f(0)＝2，所以函数y＝f(x)的图象经过唯一定点(0，2)．

(2)令g(x)＝f(x)－2＝ex＋bx－2为R上连续函数，且g(0)＝0，

则方程g(x)＝0存在一个解．

①

当b>1时，g(x)为增函数，此时g(x)＝0只有一解．

②

当00，g(x)为增函数．

所以g(x)极小值＝g(x0)．又g(x)的定义域为R，所以g(x)min＝g(x0)．

①

若x0>0，g(x)在(－∞，x0)上为减函数，g(x0)0.

所以x∈(x0，ln

2)时，g(x)至少存在另外一个零点，矛盾．

②

若x01或b＝时，方程f(x)＝2有且只有一个解．

(2018·扬州期末)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax＋b，a，b∈R.

(1)

若不等式f(x)>x2＋m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；

(2)

若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点，求实数b的取值范围．

解：

(1)

由题意得m0，即有h′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，

所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，

故h(x)>h(0)＝e0－02＝1，

所以m≤1.

(2)

若a1时，F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点．

①

若ax2＋1>x2在x∈(0，＋∞)上恒成立．

取x0＝a＋b，则F(x0)＝F(a＋b)＝ea＋b－a(a＋b)－b>(a＋b)2－a2－ab－b＝ab＋b(b－1)>0.

由于F(0)＝1－b0，且F(x)在(0，＋∞)上连续．

由零点存在定理可知F(x)在(0，a＋b)上必有零点．

综上，实数b的取值范围是(1，＋∞)．,二)

利用导数研究不等式问题,2)

(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x－ln

x．求证：

(1)

g(x)≥1；

(2)

(x－ln

x)f(x)>1－.

证明：(1)

g′(x)＝，当00，

即g(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．

所以g(x)≥g(1)＝1，得证．

(2)

f(x)＝1－，f′(x)＝，

所以当00，

即f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，

所以f(x)≥f(2)＝1－

①.

又x－ln

x≥1

②，且①②等号不同时取得，

所以(x－ln

x)f(x)>1－.

(2018·苏州暑假测试)已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.

(1)

若f′(x)是函数f(x)的导函数，当a>0时，解关于x的不等式f′(x)>ex；

(2)

若f(x)在[－1，1]上是单调递增函数，求a的取值范围．

解：

(1)

f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex.

不等式f′(x)>ex可化为[ax2＋(2a＋1)x]·ex>0.

因为ex>0，故有ax2＋(2a＋1)x>0.

当a>0时，不等式f′(x)>ex的解集是(－∞，－)∪(0，＋∞)．

(2)

由(1)得f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex，

①

当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，当且仅当x＝－1时取等号，故a＝0符合要求；

②

当a≠0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋1)x＋1，

因为Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0，

所以g(x)＝0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1>x2，

因此f(x)有极大值又有极小值．

若a>0，因为g(－1)·g(0)＝－ax2，g(0)＝1>0，因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在[－1，1]上单调，

必须满足即所以－≤a0，则f′(x)>f′(0)＝0；若x0，注意到ln

x2ax－2－2

＝2a(－)(－)>0，

所以?m＝()2，函数h(x)在(m，＋∞)上单调递增．

②

若a≤0，当x>1时，h′(x)＝2ax－sin

x－1－ln

x0恒成立，

即≥2ax＋b≥ln

x对任意的x>0恒成立．

而当x＝时，ln

x＝＝，

所以≥2a＋b≥，

所以2a＋b＝，则b＝－2a，

所以－2ax－b＝－2ax＋2a－≥0

(*)恒成立，

①

当a≤0时，2a－0时，则4a2－(2a－)≤0，即(2a－)2≤0，

所以a＝，则b＝－.

令φ(x)＝ln

x－x＋，则φ′(x)＝，

令φ′(x)＝0，得x＝，

当0时，φ′(x)1时，f(x)0得

解得0

故f(x)的单调增区间是(0，)．

(2)

证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(1，＋∞)．

则有F′(x)＝.

当x∈(1，＋∞)时，F′(x)1时，F(x)1时，f(x)

3.

若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.

(1)

求函数f(x)的解析式；

(2)

若方程f(x)＝k有3个解，求实数k的取值范围．

解：(1)

对函数f(x)求导得f′(x)＝3ax2－b，

由题意得解得

经检验a＝，b＝4符合题意，

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.

(2)

由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，

令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，－2)

－2

(－2，2)

2

(2，＋∞)

f′(x)

＋

0

－

0

＋

f(x)





－



因此，当x＝－2时，f(x)有极大值；

当x＝2时，f(x)有极小值－.

所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如图所示．

因为方程f(x)＝k的解的个数即为函数y＝k与函数y＝f(x)的交点个数．

所以实数k的取值范围是(－，)．