江苏高考数学复习立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质课时分层训练

江苏高考数学复习立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质课时分层训练本文简介：第八章立体几何第41课直线、平面垂直的判定及其性质课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是____________．(填序号)【导学号：62172226】①α⊥β且m?α；②α⊥β且m∥α；

江苏高考数学复习立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质课时分层训练本文内容：

第八章

立体几何

第41课

直线、平面垂直的判定及其性质课时分层训练

A组

基础达标

(建议用时：30分钟)

一、填空题

1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是____________．(填序号)

【导学号：62172226】

①α⊥β且m?α；

②α⊥β且m∥α；

③m∥n且n⊥β；

④m⊥n且α∥β.

③

[由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知③正确．]

2．(2017·徐州模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是____________．(填序号)

①若l∥α，l∥β，则α∥β；

②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；

③若α⊥β，l⊥α，则l∥β；

④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.

②

[①中，α∥β或α与β相交，不正确．②中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，

由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，②正确．

③中，l∥β或l?β，③不正确．

④中，l与β的位置关系不确定．]

3．如图41-8，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是____________．(填序号)

图41-8

①BC∥平面PDF；

②DF⊥平面PAE；

③平面PDF⊥平面PAE；

④平面PDE⊥平面ABC.

④

[因为BC∥DF，DF?平面PDF，

BC?平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故①正确．

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，

所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此②③均正确．]

4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是____________．(填序号)

①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；

②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；

③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；

④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.

③

[①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；

②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m?α，错误；

③中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；

④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m?α，错误．]

5．如图41-9，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是________．(填序号)

图41-9

①平面ABC⊥平面ABD；

②平面ABD⊥平面BCD；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.

③

[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]

6．如图41-10所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

【导学号：62172227】

图41-10

DM⊥PC(或BM⊥PC等)

[由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.

又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]

7．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，m?α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)

②③④

[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．

对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．

对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m?α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．

对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]

8．如图41-11，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．

图41-11

[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C.

所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．

设三棱柱的所有棱长为a，

在Rt△AED中，

AE＝a，DE＝.

所以tan∠ADE＝＝，则∠ADE＝.

故AD与平面BB1C1C所成的角为.]

9.如图41-12，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为____________．

图41-12

[设B1F＝x，

因为AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，

所以AB1⊥DF.

由已知可得A1B1＝，

设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，

则DE＝h.

由面积相等得2×＝h，

所以h＝，DE＝.

在Rt△DB1E中，

B1E＝＝.

由面积相等得×＝x，

得x＝.]

10.(2017·南京模拟)如图41-13，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

图41-13

其中正确结论的序号是____________.

【导学号：62172228】

①②③

[由题意知PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC.

又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.

∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，

∴AF⊥平面PBC，

∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，

故①②③正确．]

11．(2017·盐城模拟)如图41-14，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.

设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，求证：

(1)DE∥平面AA1C1C；

(2)BC1⊥AB1.

图41-14

[证明]

(1)由题意知，E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.

因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.

因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.

因为BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.

因为AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.

12．(2016·苏州期末)如图41-15，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.

(1)求证：A1，C1，F，E四点共面；

(2)若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE.

【导学号：62172229】

图41-15

[证明]

(1)连结AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，

所以EF∥AC.

由直棱柱知AA1綊CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.

所以EF∥A1C1，

故A1，C1，F，E四点共面．

(2)连结BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，

所以DD1⊥A1C1.

因为底面A1B1C1D1是棱形，所以A1C1⊥B1D1.

又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D.

因为OD?平面BB1D1D，所以OD⊥A1C1.

又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1?平面A1C1FE，A1E?平面A1C1FE，

所以OD⊥平面A1C1FE.

B组

能力提升

(建议用时：15分钟)

1．如图41-16，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是____________．(填序号)

图41-16

①O是△AEF的垂心；

③O是△AEF的内心；

③O是△AEF的外心；

④O是△AEF的重心．

①

[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，

所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，

而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，

所以EF⊥平面PAO，

所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，

所以O为△AEF的垂心．]

2．如图41-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

图41-17

a或2a

[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.

为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．

设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，

∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]

3．(2016·四川高考)如图41-18，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.

图41-18

(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.

[解]

(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．

理由如下：连结CM，

因为AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AM，且BC＝AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，

所以CM∥AB.

又AB?平面PAB，CM?平面PAB，

所以CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)

(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，

因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.

因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连结BM，

所以BC∥MD，且BC＝MD，

所以四边形BCDM是平行四边形，

所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.

又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.

4．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图①)．

①

②

图41-19

(1)求证：OF∥平面ACD；

(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．

[解]

(1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，

又因为F为的中点，

所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，

又AC?平面ACD，OF?平面ACD，

所以OF∥平面ACD.

(2)存在，E为AD中点，

因为OA＝OD，所以OE⊥AD.

又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．

所以OC⊥平面OAD.

又AD?平面OAD，所以AD⊥OC，

由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，

所以AD⊥平面OCE.

又AD?平面ACD，

所以平面OCE⊥平面ACD.