第二百五十八夜:差比数列
精选回答
酒伴清风 2023-09-15 14:32:16
在最近的考试中,数列以中档题出现的频率颇高。数列从必修中移至选修,其地位上升是不言而喻的。新教材对数列的性质明显加强了,相信未来,数列将有更广阔的发挥空间。
“重庆巴蜀中学”高2022届第4次月考已经落下帷幕,数学试卷尚未仔细看,不过有人提到了其中的第20题,便索性写了下来。
本题算不上难题,也算不上好题。既然已复习了数列,“差比数列”是绕不开的坎,其破题方法——“错位相减法”更是不得不掌握的套路。
法1,错位相减,教材中推导等比数列的求和公式便是此法。错位相减总是以中低档题出现,旨在送分。但凡对自己有要求的人都不会视而不见。很遗憾,不少人在第一问折戟,所以无论第二问是如何的简单诱人,分数都与之无缘。
法2,裂项兼并项。表面上看,这似乎是很神奇的技巧,其实本质与法1一致。只不过这里省略了程序化的步骤而已。法2是我一时兴起所为,我要罗嗦的不会更多。不过它却启发了我——能否将“差比数列”进行“裂项相消”呢?
答案是肯定的,并且这种套路具有一般性。
法3,裂项相消,将数列中的每一项都拆分为两项,求和后中间项相互抵消,剩下前后两项(或几项)。事实上,每一个“差比数列”都具有这样拆分的特点,当中的参数可通过赋值法求得。
法4的理论依据自然是“幂级数”,它有许多好性质(连续性、逐项积分、逐项求导等)。由于幂级数并非高中数学的内容,因此,我不想谈论太多。至于如何取舍,完全是你的自由。我还想补充的是,即便如此,法4也有诸多缺陷,严谨与否就不要纠结了。
另外,“差比数列”有求和公式。如果是小题,直接套用即可,在此不作赘述。
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