一元二次方程的定义和根

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一、一元二次方程的定义和根

1、一元二次方程

等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)。并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式是$ax^2$+$bx$+$c$=0($a$≠0)。其中$ax^2$是二次项,$a$是二次项系数;$bx$是一次项,$b$是一次项系数;$c$是常数项。

对于方程$ax^2$+$bx$+$c$=0,只有当$a$≠0时才是一元二次方程。反过来,如果说$ax^2$+$bx$+$c$=0是一元二次方程,则必须含着$a$≠0这个条件。

3、一元二次方程的根

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。利用方程的根求待定系数时,只需将方程的根代入原方程,再解关于待定系数的方程。

4、解一元二次方程

(1)直接开平方法

我们知道如果$x^2$=25,则$x$=$土\sqrt{25}$,即$x$=±5,像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。一般地,对于方程$x^2$=$p$。

① 当$p$ >0时,方程有两个不等的实数根$x_1$=$\sqrt{p}$ ,$x_2$=$-\sqrt{p}$。

② 当$p$=0时,方程有两个相等的实数根$x_1$=$x_2$=0。

③ 当$p$<0时,因为对任意实数$x$ ,都有$x^2\geqslant$0,所以方程无实数根。

(2)配方法

通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法。用配方法解方程是以配方为手段,以直接开平方法为基础的一种解一元二次方程的方法。

用配方法解一元二次方程的一般步骤:

① 化二次项系数为1。

② 移项:使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项。

③ 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方,原方程变为$(x+n)^2$=$p$的形式。

④ 直接开平方:如果右边是非负数,就可用直接开平方法求出方程的解。

(3)公式法

① 公式法的定义

解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式$ax^2$+$bx$+$c$=0($a$≠0)。当$b^2-$$4ac\geqslant 0$时,方程$ax^2$+$bx$+$c$=0($a$≠0)的实数根可写为$x$=$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的形式,这个式子叫做一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0($a$≠0)的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根。

② 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系

一般地,式子$b^2-$$4ac$叫做方程$ax^2$+$bx$+$c$=0($a$≠0)的根的判别式,通常用希腊字母$\mathit{Δ}$表示,即$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac$。

当$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac >0$时,一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0($a$≠0)有两个不相等的实数根。即$x_1$=$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,$x_2$=$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

当$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac=0$时,一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0($a$≠0)有两个相等的实数根。即$x_1$=$x_2$=$-\frac{b}{2a}$。

当$\mathit{Δ}=$$b^2-4ac<0$时,一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0($a$≠0)无实数根。

③ 利用公式法解一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0($a$≠0)的一般步骤:

将一元二次方程整理成一般形式。

确定公式中$a$,$b$,$c$的值。

求出$b^2-4ac$的值。

当$b^2-4ac\geqslant0$时,将$a$,$b$,$c$的值及$b^2-4ac$的值代入求根公式即可;当$b^2-4ac<0$时,方程无实数根。

④ 一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况:

不解方程,由根的判别式的正负性及是否为0可直接判定根的情况。

根据方程根的情况,确定方程中字母系数的取值范围。

应用判别式证明方程根的情况(有实根、无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根)。

(4)因式分解法

① 因式分解法的定义

将一元二次方程先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

② 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:

移项——将方程的右边化为0。

化积——将方程的左边分解为两个一次式的乘积。

转化——令每个一次式分别为零,得到两个一元一次方程。

求解——解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。

5、一元二次方程的根与系数的关系

当$b^2-4ac\geqslant0$时,一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0($a$≠0)有两个实数根$x_1$,$x_2$,且满足求根公式$x$=$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$,则有:

$x_1$+$x_2$=$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$+$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$=$-\frac{b}{a}$。

$x_1x_2$=$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$·$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$=$\frac{c}{a}$。

即$x_1$,$x_2$满足:$x_1+x_2$=$-\frac{b}{a}$,$x_1x_2$=$\frac{c}{a}$。

二、一元二次方程的定义的相关例题

已知关于$x$的方程($a^2-1)x^2+$$(1-a)x+$$a-$$2=0$,下列结论正确的是___

A.当$a≠±1$时,原方程是一元二次方程。

B.当$a≠1$时,原方程是一元二次方程。

C.当$a≠-1$时,原方程是一元二次方程。

D.原方程是一元二次方程。

答案:A

解析:当$a≠±1$时,$a^2-1≠0$,则原方程是一元二次方程。故选A。

冷酷的云 2024-05-19 14:13:19

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鸟的第一笔是撇。鸟的笔顺:撇、横折钩、点、竖折折钩、横。
鸟,汉语常用字,读作niǎo或者diǎo,最早见于甲骨文,其本义为长尾飞禽,后引申为能飞的昆虫、地名等。
引证解释:
1、又星名,朱鸟,南方七宿名。《书·尧典》:“日中星鸟。”
2、又国名。《山海经》:“盐长之国有人鸟首,名曰鸟氏。”
3、又山名,鸟䑕。《地志》:“在陇西郡首阳县西南,禹贡,终南惇物至于鸟䑕。”
4、又《山海经》:“鸟危之山,鸟危之水出焉。”
5、又官名。《左传·昭十七年》:“少皡挚之立也,纪於鸟,为鸟师,而鸟名。”
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7、又丹鸟,白鸟,俱虫名。《夏小正》:“丹鸟者,丹良也。白鸟者,蚊蚋也。”
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形单影只茕茕孑立什么意思

“形单影只”汉语成语,形容孤独一人,没有同伴。
“茕茕孑立”指孤独无依的样子,形容无依无靠,非常孤单。
“形单影只”的出处:《祭十二郎文》:“承先人后者,在孙惟汝,在子惟吾,两世一身,形单影只。”
“茕茕孑立”的出处:《寄许京兆孟容书》:“茕茕孑立,未有子息,荒陬中少士人女子,无与为婚。”
“形单影只”造句:
1、那只形单影只的白天鹅悲伤的鸣叫,刺痛了所有人的心。
2、王奶奶形单影只,一个人生活了30多年。
3、他没有朋友,不管去哪里,他总是踽踽独行,形单影只。
4、他的成绩开始下滑,讨厌团体活动,总是形单影只。
5、小林刚来这里,人地生疏,形单影只,大家应当主动关心他。
“茕茕孑立”造句:
1、他没有亲人,茕茕孑立,十分可怜。
2、小王因为职位被人茕茕孑立,形影相吊,他很是懊恼。
3、这位老人,没有子女,没有至亲,落得“茕茕孑立,形影相吊”。
4、老人很早就失去了所有的亲人,多年来,茕茕孑立,一个人过着艰难的生活。
5、他对这个茕茕孑立的孩子动了怜悯之心。
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