对于素数p,q,方程x4-px3+q=0有整数解,则p=______q=______
题目内容:
对于素数p,q,方程x4-px3+q=0有整数解,则p=______q=______
最佳答案:
将方程x4-px3+q=0移项,得 x4+q=px3.
可见,x4≥0,则x4+q>0。
所以px3>0。
即x>0。
本题也就是要求出使方程x4-px3+q=0有正整数解的素数p、q;
且素数p必定是奇素数,否则是偶素数的话。
那么p=2。
则方程成为:x4+q=2x3。
即q=2x3-x4=x3×(2-x)>0。
得出2-x>0。
即x<2。
则只能是x=1。
代入方程:
1、4+q=2×13。
即1+q=2,解得q=1,不是素数,故p必定是奇素数.
分两种情形讨论:
情形一:当x为偶数时,设为x=2n。
则有(2n)4+q=p×(2n)3。
16n4+q=p×8n3。
上式右端是偶数,则左端的q必须为偶数。
否则:左端奇偶相加得奇,不符.
而q作为素数,唯一的偶素数就是2,即q=2。
则上式成为 16n4+2=p×8n3。
两边同时除以2,得:8n4+1=p×4n3。
显然,左端奇偶相加得奇,但右端为偶,矛盾.
所以方程无偶整数解;
情形二:当x为奇数时,设为x=2n-1,则有(2n-1)4+q=p×(2n-1)3。
观察上式,右端为奇,则左端也必须为奇,而(2n-1)4是奇,所以得出q必须为偶,故素数q=2。
上式成为:(2n-1)4+2=p×(2n-1)3。
整理成:p(2n-1)3-(2n-1)^4=(2n-1)3×[p-(2n-1)]=1×2。
由于(2n-1)3为奇。
所以必有:(2n-1)3=1。
解得:n=1;
则:[p-(2n-1)]=2。
解得:p=3;
综上,对于素数p、q,方程x4-px3+q=0有整数解,则p、q分别为3和2.
故答案为:p=3,q=2.
考点核心:
有理数的定义:有理数是整数和分数的统称,一切有理数都可以化成分数的形式。
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