三次方程因式分解练习题（三次方程因式分解）

1、1.因式分解法 因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些三次方程适用.对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解.当然，因式分解的解法很简便，直接把三次方程降次.例如:解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0,得方程的三个根:x1=0,x2=1,x3=-1.2.另一种换元法 对于一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和换元，将方程化为x+px+q=0的特殊型.令x=z-p/3z,代入并化简，得:z-p/27z+q=0.再令z=w,代入，得:w+p/27w+q=0.这实际上是关于w的二次方程.解出w,再顺次解出z,x.3.盛金公式解题法 三次方程应用广泛。

2、用根号解一元三次方程，虽然有著名的卡尔丹公式，并有相应的判别法，但使用卡尔丹公式解题比较复杂，缺乏直观性。

3、范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，并建立了新判别法.盛金公式 一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0，(a，b，c，d∈R，且a≠0)。

4、重根判别式:A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd， 总判别式:Δ=B^2-4AC。

5、当A=B=0时，盛金公式①: X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。

6、当Δ=B^2-4AC>0时，盛金公式②: X1=(-b-(Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(3a); X2，3=(-2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)((Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(6a)， 其中Y1，2=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2，i^2=-1。

7、当Δ=B^2-4AC=0时，盛金公式③: X1=-b/a+K; X2=X3=-K/2， 其中K=B/A，(A≠0)。

8、当Δ=B^2-4AC<0时，盛金公式④: X1=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a); X2，3=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a)， 其中θ=arccosT，T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2))，(A>0，-1

9、盛金判别法 ①:当A=B=0时，方程有一个三重实根; ②:当Δ=B^2-4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根; ③:当Δ=B^2-4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根; ④:当Δ=B^2-4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

10、盛金定理 当b=0，c=0时，盛金公式①无意义;当A=0时，盛金公式③无意义;当A≤0时，盛金公式④无意义;当T＜-1或T＞1时，盛金公式④无意义。

11、当b=0，c=0时，盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值?盛金公式④是否存在T＜-1或T＞1的值?盛金定理给出如下回答: 盛金定理1:当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0(此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立)。

12、盛金定理2:当A=B=0时，若b≠0，则必定有c≠0(此时,适用盛金公式①解题)。

13、盛金定理3:当A=B=0时，则必定有C=0(此时,适用盛金公式①解题)。

14、盛金定理4:当A=0时，若B≠0，则必定有Δ＞0(此时，适用盛金公式②解题)。

15、盛金定理5:当A＜0时，则必定有Δ＞0(此时，适用盛金公式②解题)。

16、盛金定理6:当Δ=0时，若B=0，则必定有A=0(此时，适用盛金公式①解题)。

17、盛金定理7:当Δ=0时，若B≠0，盛金公式③一定不存在A≤0的值(此时，适用盛金公式③解题)。

18、盛金定理8:当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在A≤0的值。

19、(此时，适用盛金公式④解题)。

20、盛金定理9:当Δ＜0时，盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出现的值必定是-1＜T＜1。

21、显然，当A≤0时，都有相应的盛金公式解题。

22、注意:盛金定理逆之不一定成立。

23、如:当Δ＞0时，不一定有A＜0。

24、盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。

25、任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。

26、当Δ=0(d≠0)时，使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。

27、与卡尔丹公式相比较，盛金公式的表达形式较简明，使用盛金公式解题较直观、效率较高;盛金判别法判别方程的解较直观。

28、重根判别式A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd是最简明的式子，由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2-4AC也是最简明的式子(是非常美妙的式子)，其形状与一元二次方程的根的判别式相同;盛金公式②中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。

29、盛金公式出处 以上盛金公式的结论，发表在《海南师范学院学报(自然科学版)》(第2卷，第2期;1989年12月，中国海南。

30、国内统一刊号:CN46-1014)，第91-98页。

31、范盛金，一元三次方程的新求根公式与新判别法。