数学思想

你觉得什么是数学思想？

所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。

所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。

数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。

运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程度时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。

其实，在中学数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。

它们既相辅相成，又相互蕴含。

因此，在中学数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。

比如化归思想，可以说是贯穿于整个中学阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引人了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。

在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想：同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。

（一）函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析间题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系人手，运用数学语言将间题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

（二）数形结合思想恩格斯曾说过：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。

而“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。

“数”是数量关系的体现，而“形”则是空间形式的体现。

它们两者既有对立的一面，又有统一的一面。

我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常常借助于线段或角的数量关系去探求。

数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。

数和式是问题的抽象和概括、图形和图象是问题的具体和直观的反映。

因此，数和形是研究数学的两个侧面，利用数形结合，常常可以使所要研究的问题化难为易，使复杂问题简单化、抽象问题具体化。

正如著名数学家华罗庚所说的那样：“数无形，少直观，形无数，难入微”，这句话阐明了数形结合思想的重要意义。

在初中代数列方程解应用题教学中，很多例题都采用了图示法进行分析，在教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性，引导学生从图形上发现数量关系，找出解决问题的突破口，学生掌握了数形结合这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值，对解决问题更具有指导意义。

（三）分类讨论思想分类讨论思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，当被研究的问题包含多种可能的情况不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论，从而得出各种情况下的结论，这种处理问题的思维方法就是分类讨论思想。

（四）转化思想所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。

转化思想是中学数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。

数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为易、化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。

（五）整体思想从间题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

（六）类比思想把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

（七）建模思想为了描述一个实际现象更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。

使用数学语言描述的事物就称为数学模型。

有时候我们需要做一些实作的一种理论替代。

验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

（八）化归思想化归思想就是化未知为已知，化紧为简，化难为易.如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问静，由抽象到具体等转化思想。

题，将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。

（九）归纳推理思想由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或着由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理（简称归纳）。

简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

（十）概率统计思想概率统计思想是指通过概率统计解决一些实际问题，如摸奖的中奖率、某次考试的综合分析等等。

另外，还可以用概率方法解决一些面积问题。

我觉得数学思想最重要的就是实事求是的思想。

为什么这样说呢？因为很多事物看起来是这样那样，但唯有你拿起笔来去计算才知道，事实跟你想象的完全不一样。

所以，数学，让我们去探索事实。

我们也要用数学的思维去认识世界。

我举一个例子，让朋友们感受一下。

假设有一根绳子，它沿着赤道把地球紧紧地捆住。

此时，如果把这跟绳子加长10米，请问，绳子与地球之间能站得下一个人吗？看到这个问题，大家很容易就会知道“答案”：地球直径那么大，绳子长个10米跟没有长有什么区别？10米分到地球直径上，估计连个缝隙都看不到。

我孩子也是这样想的。

我让他算一下再说，他还生气，说“这有什么好算的？用脚都能想得出来。

在我的再三要求下，他不情愿地拿起了笔。

结果……他傻眼了，这种用脚都能想出来的事情，答案居然跟事实完全不一样：如果一个人不超过1.592米，是完全可以站得下的。

不相信的朋友可以算一算，最后你会发现，不但能站得下一个人，而且这个问题其实跟地球直径还没有关系，无论多大多小的球，结果都一样。

这就是“只有数学，才能真正看清事实”的活生生的例子。

“发现事实”，这就是最重要的数学思想！