量变到质变

有什么量变到质变的例子？

从量变到质变，有一类很著名的例子，哲学上叫做“聚沙成丘悖论（the sorites paradox）”，也可以叫“秃头悖论”等其它名字。

这类例子的结构很简单，以秃头为例：一个人脑袋上如果只长0根头发，那肯定算是秃头，对吧？如果只长1根头发，那也算秃头，对吧？只长2根头发，还是秃头；只长3根，还是秃头；……照这样推下去，脑袋上每增加1根头发，似乎都不足以让这个人突然从“秃头”变成“不秃头”。

可是显然，如果这个人的脑袋上头发很多很多（假设有10亿根），那我们显然不能说他是秃头吧？那么从0根头发到10亿根头发，这个变化过程中间，一定是发生了什么事情，使得本来不会影响定性（秃头还是不秃头）的量变（每次增加1根头发），积累成了质变（从秃头变成不秃头）。

但是这个“量变引发质变”的临界点，究竟在哪里呢？我们可以把这个悖论稍微严格地表述一下：前提一：脑袋上只长0根头发算秃头。

前提二：对于所有自然数n，如果脑袋上长n根头发算秃头，那么脑袋上长n+1根头发也算秃头。

结论：脑袋上不管长多少根头发，都算秃头。

这个悖论结构可以套到其它许多现象上（比如，1颗沙子当然不算沙丘，2颗也不算，3颗也不算……那么 ……）。

如何解决这个悖论呢？这就涉及到哲学上关于“模糊性（vagueness）”的讨论：模糊谓词（vague predicates）究竟有没有单一的、确凿的外延，临界案例究竟存不存在可以锐化（sharpenable）的边界。

比如一种解决思路是，对于包含模糊谓词的命题S，认为其真值并非“真/假”二元，而是“（高阶）真/（高阶）假/模糊”三元：1. 如果S在任何可行的锐化中都是真的，那么S就是（高阶）真的；2. 如果S在任何可行的锐化中都是假的，那么S就是（高阶）假的；3. 如果S在某些可行的锐化中是真的，在另一些可行的锐化中是假的，那么S就是模糊的。

上面这个定义很抽象，不好理解，我们还是以秃头那个例子来具体说明一下。

根据这种理论，“秃头”这个谓词本身缺乏精确定义，但可以被“锐化”成不同的具体定义，比如“秃头定义1”规定“1根头发算秃头，2根不算”，“秃头定义2”规定“2根算秃头，3根不算”，以此类推。

这样锐化完以后，我们会发现，前面那个悖论中的“前提二”（“对于所有自然数n，如果脑袋上长n根头发算秃头，那么脑袋上长n+1根头发也算秃头”）对于任何一个“锐化”之后的“秃头定义”都是不成立的：当我们采取“秃头定义1”时，该前提在n=1时不成立；当我们采取“秃头定义2”时，该前提在n=2时不成立；……。

换句话说，根据这种理论，秃头悖论的前提二是“（高阶）假”的，所以这个悖论自然就破解了。

当然，并不是所有人都同意对模糊性的这种理解；因为这种理论会导致其它一些我们不想见到的后果，包括与经典逻辑、经典语义学的冲突。

所以不少哲学家提出了其它解决这个悖论的思路，这里就不一一举例了。

其实现在的科学学科分类，本身就是量变产生质变的例子。

从粒子物理，到凝聚态物理，到化学、生物……一层层上去，最大的特征，就是尺度发生了变化，而需要研究的对象数量，也发生了巨大的变化。

比如相对底层的粒子物理，或者高能物理，研究的对象通常是基础粒子，这里的「量」相对比较少，而到了凝聚态物理，则完全不同，所研究的对象，其中通常包含着极为大量的粒子（十的二十三到二十四次方左右）。

然而你可能会认为，这些学科的分类，只是源于历史原因，而不是量变所产生的。

针对这种想法，其实著名凝聚态物理学家Anderson在几十年前，就发表过一篇文章，叫做《More is Different》，即论「多者异也」。

这篇文章现在几乎成了凝聚态物理学家的「圣经」之一。

他在文章中，对于「量变产生质变」，提出了一个非常普适的观点，就是量变会导致对称性的破缺，而对称性的破缺，则会导致质变。

举一个例子，单独的粒子，各向同性，在空间中，没有什么「特别的方向」。

这时它是高度对称的。

然而如果有一群粒子，比如大量的铁原子，放在一起，他们就可能会构成晶格。

然而要注意的是，三维有序晶格的数量是有限的，只有几十种，而每一种，其对称性都是不如单个粒子的。

这就是对称性的破缺。

对称性的破缺会导致质变。

就例如上面的有序晶格，就会使得系统对某些特定频率的电磁波反射更强烈，另一些则更弱。

从而产生出金属光泽，有些有色金属，还会反射特别的颜色。

这些特性都是大量个体在一起时产生的现象。

单个的铁原子、铜原子，其从性质上看，并没有说就要反射某一段频率的电磁波——这是集体行为。

而粒子数量上的增长，则使得这种集体行为涌现了出来。

这就是「量变产生质变」。

还有人可以进一步地反驳，认为这些规律，毕竟都是可以从基础规律上推导而得的。

这时我们就面临了一个困境，我称之为「复杂度之困境」，即量的增加，会使得计算复杂度急剧增加，甚至到了无法容忍的境地。

比如说，我知道怎么算薛定谔方程，甚至说，我连量子多体问题都能算，然后我想去计算一下水的行为，我也有很强大的计算机，得到的模型与真实世界完全一样——然而我们理解了吗？「理解」是受制于人脑的，人需要在有限的时间内，从一个「基础模型」推得现象。

这就要求，在每一个复杂度的层级，在每一个尺度上，都需要新的规律。

这就是「量变产生质变」，亦是「多者异也」、「More is Different」。