一一对应

函数里面的变量，为什么会形成一一对应的关系？

函数里面的变量并不是都是一一对应的。

比如y=2X+3中，X与y是一一对应的，而y=X2+3中，X与y就不是一一对应的。

只有严格单调函数才是一一对应的。

函数问题一直是学生害怕，发愁的问题。

看见函数题，同学们就会出现两股战战，几欲先走的局面。

函数真的很难吗？人们在认识一件事物时，总遵循着由浅入深、由表及里、螺旋式上升的认知过程。

尤其对函数概念本质的理解与认知也在发展，所以数学概念的认识不可能一步就位，需要一个螺旋上升的曲折过程。

函数里面的变量，为什么会形成一一对应的关系，在函数认知发展历程经历300多年发展完善。

一、函数的变量形成一一对应的关系是函数发展中的需要函数要描述一个什么内容？概括性地讲，函数要描述两个变量之间的相互依赖、转化的关系，这就是函数的本质。

它是从常量数学迈进变量数学的标志。

16世纪以前，数学研究的多为静止不动的常量，称为常量数学或者初等数学。

16世纪，变量和函数概念产生标志着数学从常量时代进入到变量时代。

函数概念在其产生后的200多年间经历了五次大的演变，这里面既有质的改变，也有形式内容上的完善，其中前几次演变与微积分学有密切关系。

随后微积分的发展促使函数概念用解析表达式（即联系两个变量之间关系的数学算式）表示，这是函数概念的第一次重大演变。

1694年，瑞士数学家约翰伯努利首先给出“解析式说函数概念”。

约翰伯努利的学生、数学王子、瑞士数学家欧拉1748年在其著作《无穷小分析论》中对伯努利的定义作部分修正：一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式。

同时，欧拉发明利用英语单词“function＂的首个字母f当作函数符号f(x）。

函数的解析式说定义在18世纪大部分时间占有统治地位，它的优点是“解析式”是具体可以看到的东西，对帮助初学者理解函数概念是十分有益的。

1859年，我国著名数学家李善兰在翻译《代数学》一书时，首次将英文的“function”译为“函数”。

他认为，“凡式中含天，为天之函数。

（式子中有x，这个式子就是x的函数）。

在我看来，李善兰先生不直接用“含数”来表达，而是用了“函”，更多的是想体现函数中包含的“联系，关联，随之而变”的思想。

函数概念的第二次重大演变是用“运动与变化”的观点给函数下定义。

1８世纪中期，数学家们一直在争论振动弦问题：“一根两端固定的弹性弦被变形成某种初始形状，然后被释放出来振动。

问题是描述确定某时刻弦形状的函数。

这场辩论对函数概念的演变产生了重要的影响，出于刻画弦形状的函数的需要，数学家围绕“如果两个表达式在某个区间一致，那是否处处一致？”这一问题展开了争论。

因此，数学家们开始意识到用“解析式”定义函数已经不够完善了，于是1775年，欧拉在《微分基础》中更新了函数定义：“如果某些量依赖于另一些量，当后面这些量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数。

函数的“变量依赖说”定义由此诞。

所以《高等数学》(同济版,第七版)第1页第一段话第二句：所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，目的是为了突出函数的灵魂（“变化”）。

德国数学家狄利克雷在1837年给出“变量对应说”定义：“如果对于给定区间上的每个x的值，y总有完全确定的值与之对应，那么y就叫做x的函数”。

他进一步还指出，y依赖于x关系是否可用数学运算式来表达，无关紧要。

1851年德国数学家黎曼把函数定义中的“完全确定的值”改为“唯一的一个值”。

这是函数概念的第三次重大演变。

新课改之前，我国初中数学教材中函数的定义，实际上是欧拉的“变量依赖说”与黎曼的“变量对应说”的混合物。

这种动态的描述性定义方式体现了原始粗略但生动直观的一种动态文化内涵，其优点是把“变量”与“对应法则”巧妙地融合在一起这就是说，它既突出了函数的灵魂（“变化”），又强调了函数的本质（“对应关系”）。

函数的近代与传统两种定义方式决定的目前我国高中数学教材中普遍使用它，表达为：设 A、B为两个非空集合，如果按某个确定的对应关系，对于集合A中每一元素x，总有集合B中唯一确定的元素y与之对应，那么这个对应关系叫做一个映射。

当 A、B为非空数集时，这样的映射就称为函数。

利用集合之间的“对应关系”给函数下定义，摆脱了“变量”对函数概念的约束，使得函数概念的适用范围更为广泛。

因此，是函数概念的第四次重大演变。

1939年法国的布尔巴基学派对“关系”加以限制给出下述十分形式化、抽象化的函数定义：设A与B是给定的数集， f是笛卡儿乘积集A×B(=｛（x,y)l x∈A，y∈B})的一个子集（也称A与B的一个关系），如果对于任何x∈A，存在唯一的y∈B,使得（x，y）∈ f（等价于若（x,y), (x, z）∈f，则必有y＝ z），则称 f是定义在A上、取值在B中的函数。

“集合关系说”是用集合论的语言，即对笛卡儿乘积集加以适当限制再对函数下定义，消除了“变量”“对应”等含义模糊的用语，因而是完全数学化的定义。

这种完全形式化的定义还便于为计算机所接受由此可见，这种高度统一、形式化函数定义，函数概念的第五次重大演变。

传统定义：在一个变化过程中，假设有两个变量x，y，如果对于任意一个x都有唯一确定的y与之对应，那么就说y是x的函数，x为自变量，y为因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应的y的取值范围叫做函数的值域。

现代定义：设A，B是两个非空数集，如果存在一个确定对应法则f，能使得对于A中的任意一个x，在B中都有唯一确定的y与之对应，那么就称映射f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，集合A为函数的定义域，集合B为函数的值域。

你可以把函数理解成很多东西：你可以把它看作是一种变化过程、看作两个量之间存在的关系等等。

结束语今天我们在已知函数概念的前提下，应该能够把他们还原到原始状态。

不仅局限于数、值、点、图形这些抽象数学对象的对应，不仅狭窄的将运算作为对应法则。

应该有能力把一切相关联事物作为象集、原象集，借助客观实物去理解函数。

比如每个人的qq号码作为原象，持有账户的关系作为对应法则，那么象集“人”就与原象集“qq”号码建立起了函数关系。

此类关系在生活中不胜枚举，希望大家展开联想，积极思考，这样函数这一概念会在你的脑海里越发的深刻。

一个有趣的例子是这样的，将十朵花分别插入十个水瓶中，对一个3岁大的小女孩提问，花和瓶子哪个多？小女孩能回答出来一样多；再将所有的花拿出来扎成一捆，问同样的问题，小女孩就会说瓶子多。

小女孩是纯真的她所说的话正体现了人们对函数一一对应这一性质的最初认识。

如果象在对应法则下都有唯一的原象并且原象集中的元素一个不剩的都对着象集中的元素。

不就是花与瓶的关系吗？我们对无穷多数集比较的问题不就解决了吗？现在问你被2整除的数与被3整除的数哪个更多你一定不会象小女孩那样说被3整除的数因为大所以多，他们可以建立一一对应关系，让被2整除的数乘以2分之3就能与被3整除的数形成一一对应。

函数一一对应关系能解决直观引起的误区，并且具有反对应、可逆转的功效。

生活中人人都在用的身份证就是这个思想的产物。

每个人都必须且只能有唯一一个身份证号，身份证号就和人建立起了一一对应，只要出示身份证就能表明你的身份。

总之，函数所体现的，就是两件看似不相关的事件背后的关系。

为什么函数如此重要？其实仔细想想，世间万物不也如此吗？我们周围的环境瞬息万变，时刻都与其他的人、事、物产生关联。

原来，函数的本质与我们的生活息息相关。

学习函数的有关知识，就是为了我们更好的解释、分析甚至一定程度地预测世界。

参考文献：唐远猷，函数、映射到底是什么？