高考数学_热点专题专练_专题五_数列、不等式、推理与证明测试题_理

2013年高考数学_热点专题专练_专题五_数列、不等式、推理与证明测试题_理本文简介：专题五数列、不等式、推理与证明测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有()A.D.≥解析a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝a＋10a1d

2013年高考数学_热点专题专练_专题五_数列、不等式、推理与证明测试题_理本文内容：

专题五

数列、不等式、推理与证明测试题

(时间：120分钟

满分：150分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列，则有(

)

A.

D.≥

解析

a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝a＋10a1d＋21d2，a＝(a1＋5d)2＝a＋10a1d＋25d2，故≤.

答案

B

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5a，解得－20，则数列{Sn}是递增数列

解析

由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，根据二次函数的图象与性质知当d0，但对任意的n∈N*，Sn>0不成立，即选项C错误；反之，选项D是正确的．

答案

C

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．

13．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d.类比上述结论，在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项之积，则有____________________________．

答案

，，也成等比数列，且公比为q100

14．(2012·福建)数列{an}的通项公式an＝ncos＋1，前n项和为Sn，则S2

012＝________.

解析

∵an＝ncos＋1，∴当n为奇数时an＝1，当n为偶数2,6,10,14，…时，an＝－n＋1；当n为偶数4,8,12,16，…时，an＝n＋1，∴数列{an}的前4项和为：1＋(－1)＋1＋5＝6；第5至第8项和为：1＋(－5)＋1＋9＝6；…由此可知an＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝1＋(－n－1＋1)＋1＋n＋3＋1＝6(n＋3是4的倍数)，即数列{an}的相邻四项之和均为6，故S2

012＝S4×503＝503×6＝3

018.

答案

3

018

15．已知数列{an}为等差数列，则有等式a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2＋6a3－4a4＋a5＝0，

(1)若数列{an}为等比数列，通过类比，则有等式__________．

(2)通过归纳，试写出等差数列{an}的前n＋1项a1，a2，…，an，an＋1之间的关系为____________________．

解析

因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由第一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．

答案

(1)a1aa3＝1，a1aaa＝1，a1aaaa5＝1

(2)Ca1－Ca2＋Ca3－……＋(－1)nCan＋1＝0

16．(2012·新课标)数列{an}满足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前60项和为________．

解析

当n＝2k－1，k∈N*时，a2k－a2k－1＝2(2k－1)－1；当n＝2k，k∈N*时，a2k＋1＋a2k＝2(2k)－1；于是a2k＋1＋a2k－1＝2；a2k＋a2k－2＝8k－8；前一个式子中k＝1,3,5，…，29，后一个式子中k＝2,4,6，…，30，得a3＋a1＝2，a5＋a3＝2，…，a29＋a27＝2；a4＋a2＝8×2－8，a8＋a6＝8×4－8，…，a60＋a58＝8×30－8，∴S60＝15×2＋8(2＋4＋…＋30)－8×15＝1

830.

答案

1

830

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

已知函数f(x)满足ax·f(x)＝b＋f(x)(a·b≠0)，f(1)＝2且f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2，求证：数列{an}是等差数列．

解

(1)由ax·f(x)＝b＋f(x)(a·b≠0)，得f(x)(ax－1)＝b，若ax－1＝0，则b＝0，不合题意，故ax－1≠0，

∴f(x)＝.

由f(1)＝2＝，得2a－2＝b，①

由f(x＋2)＝－f(2－x)对定义域中任意x都成立，得＝－，由此解得a＝，②

把②代入①，可得b＝－1，

∴f(x)＝＝(x≠2)．

(2)证明：∵f(an)＝，Sn＝2，

∴Sn＝(an＋1)2，a1＝(a1＋1)2，∴a1＝1；

当n≥2时，Sn－1＝(an－1＋1)2，

∴an＝Sn－Sn－1＝(a－a＋2an－2an－1)，

∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，

∵an>0，

∴an－an－1－2＝0，即an－an－1＝2，

∴数列{an}是等差数列．

18．(本小题满分12分)

(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋，∴当n＝40时，(bn)max＝.

∴该商店经销此纪念品期间，第40天的利润率最大，且该天的利润率为.

21．(本小题满分12分)

(2012·山东)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

解

(1)因为{an}是一个等差数列，

所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.

设数列{an}的公差为d，

则5d＝a9－a4＝73－28＝45，

故d＝9.

由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.

所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．

(2)对m∈N*，若9m0，所以≤a＋b0.下证q＝1.

若q>1，则a1＝logq时，an＋1＝a1qn>，与(*)矛盾；

若01，故当n>logq时，an＋1＝a1qn<1，与(*)矛盾．

综上，q＝1，故an＝a1(n∈N*)，所以11，于是b1

又由a1＝得bn＝，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，矛盾．所以a1＝，从而bn＝＝.

所以a1＝b1＝.

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10

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