等差数列的定义和通项公式

一、等差数列的定义和通项公式

1、等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母$d$表示。

2、等差数列的通项公式

等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$为首项，$d$为公差。

注：已知等差数列$\{a_n\}$中的任意两项$a_n$，$a_m(n,m∈\mathbf{N}^*,m≠n)$，则$\begin{cases}a_n=a_1+(n-1)d,\\a_m=a_1+(m-1)d\end{cases}\Rightarrow$$a_n-a_m=$$(n-m)d\Rightarrow$$\begin{cases}d=\frac{a_n-a_m}{n-m},\\a_n=a_m+(n-m)d。\end{cases}$

即已知等差数列中的任意两项，可求得其公差，进而求得其通项公式。

3、等差中项

由三个数$a$，$A$，$b$组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，$A$叫做$a$与$b$的等差中项。此时，$2A=a+b$，$A=\frac{a+b}{2}$。

若数列中相邻三项之间存在如下关系：$2a_n=a_{n+1}+a_{n-1}(n\geqslant2)$，则该数列是等差数列。

4、等差数列与函数的关系

将等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$变形，整理得$a_n=nd+(a_1-d)$。则从函数的角度来看$a_n=a_1+(n-1)d$是关于$n$的一次函数（$d≠0$时）或常函数（$d=0$时）。它的图象是一条射线上的一系列横坐标为正整数的孤立的点，公差$d$是该射线所在直线的斜率。

（1）当$d >0$时，数列$\{a_n\}$是递增数列；

（2）当$d=0$时，数列$\{a_n\}$是常数列；

（3）当$d<0$时，数列$\{a_n\}$是递减数列；

5、等差数列的性质

若数列$\{a_n\}$是首项为$a_1$，公差为$d$的等差数列，则它具有以下性质

（1）若$m+n=p+q(m,n,p,q∈\mathbf{N}^*)$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。

（2）若$\frac{m+n}{2}=k$，则$a_m+a_n=2a_k(m,n,k∈\mathbf{N}^*)$。

（3）在等差数列$\{a_n\}$中，若$a_n=m$，$a_m=n$，$(m≠n)$，则有$a_{m+n}=0$。

（4）若$\{a_n\}$是有穷等差数列，则$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=$$\cdots=$$a_i+a_{n+1-i}=\cdots$。

（5）数列$λa_n+b$（$λ$，$b$是常数）是公差为$λd$的等差数列。

（6）下标成等差数列且公差为$m$的项$a_k$，$a_{k+m}$，$a_{k+2m}$，$\cdots(k,m∈\mathbf{N}^*)$，组成公差为$md$的等差数列。

（7）若数列$\{b_n\}$是等差数列，则数列$\{a_n±b_n\}$，$\{ka_n±b_n\}$（$k$为非零常数）也是等差数列。

二、等差数列的相关例题

若数列$\{a_n\}$满足$3a_{n+1}=3a_n +1$，则数列$\{a_n\}$是___

A．公差为1的等差数列

B．公差为$\frac{1}{3}$的等差数列

C．公差为$-\frac{1}{3}$的等差数列

D．不是等差数列

答案：B

解析：$3a_{n+1}=3a_n +1$，$∴a_{n+1}-a_n=\frac{1}{3}$，所以数列$\{a_n\}$是等差数列，公差为$\frac{1}{3}$。