什么是完全平方式

完全平方式的定义是什么？对于一个具有若干个简单变元的多项式A,如果存在另一个实系数多项式B,使A=B^2,则称A是完全平方式. 【例子】 （1）7x^2+4(√21)xy+12y^2是一个完全平方式,因为7x^2+4√(21)xy+12y^2=[(√7)x+(2√3)y]^2； （2）x^4-2x^3-x^2+2x+1是一个完全平方式,因为x^4-2x^3-x^2+2x+1=(x^2-x-1)^2； （3）因为(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2=(AB+BC+CA)^2,所以(AB)^2+(AC)^2+(BC)^2+2BCA^2+2CAB^2+2ABC^2是一个完全平方式. 【几点注意】 （1）以上多项式,指的都是实系数多项式.所以不能称A= -P^2+2PQ-Q^2为完全平方式,因为不存在以P、Q为变元的实系数多项式B,使A=B^2. （2）以上所说多项式,都是简单变元的多项式.我们不能随便称一个代数式或三角函数式为完全平方式.例如 ①尽管有x^2-2+1/x^2=(x-1/x)^2,但是因为这里x^2-2+1/x^2和x-1/x都不是多项式,所以代数式x^2-2+1/x^2不能被称为完全平方式的. ②尽管有e^x+2+e^(-x)=[e^(x/2)+e^(-x/2)]^2,但是e^x+2+e^(-x)不能被称为完全平方式； ③尽管有1+sin2x=(cosx+sinx)^2,但是1+sin2x也不能被称为完全平方式. 【准完全平方式】 〖导言〗 如果把①改写为x^2-2(x)(1/x)+(1/x)^2,并将其中的1/x记为y,这里y是一个复合变元. 类似地在②中记u=e^(x/2),v=e^(-x/2)；在③中记P=cosx,Q=sinx.那么u、v和P、Q都是复合变元. 〖定义〗 若对于函数式A,存在关于复合变元u1、u2、……、un的“多项式”B,使A=B^2成立,则称A是“准完全平方式”.(这里u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式). 〖例子〗 按照定义,上述①x^2-2+1/x^2,②e^x+2+e^(-x)和③1+sin2x都被称为“准完全平方式”. 这里所以要有“u1、u2、……、un不全是简单变元的多项式”的加注说明,主要为了区别出某些形式上貌似“准完全平方式”,但是本质上却是一个典型的“完全平方式”的情况. 例如,当P=x^2-1,Q=x时,虽然有x^4-2x^3-x^2+2x+1=[(x^2-1)^2-2(x^2-1)x+x^2]=(P-Q)^2,在形式上他是一个“准完全平方式”,但是本质上却是前述例(2)中的那个典型的“完全平方式”. 【类似概念 完全平方数】 若对于整数A,存在整数B,使A=B^2成立,则称A是完全平方数. 例如0,1,4,9,16,25,36,……等,都是完全平方数.完全平方式是什么

完全平方式是指如果满足对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B^2的条件话，则称A是完全平方式，亦可表示为(a+b)2=a2+2ab+b2、(a-b)2=a2-2ab+b2。

该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。

把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。

因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，在数学求根作图、解一元二次方程方面也有很广泛的应用，是解决许多数学问题的有力工具。