江苏高考数学猜题卷

2012江苏高考数学猜题卷本文简介：1.在面积为2的中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则的最小值是______________。解法一：问题可转化为已知的面积为1，求的最小值。设中点所对的边分别为，由题设知，∴从而进一步转化为的最小值。（可数形结合，可用引入辅助角化一个三角函数的形式，可用万能公式转化后换元等，下略）

2012江苏高考数学猜题卷本文内容：

1.在面积为2的中，E,F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则

的最小值是______________。

解法一：问题可转化为已知的面积为1，求的最小值。

设中点所对的边分别为，由题设知，

∴

从而进一步转化为的最小值。（可数形结合，可用引入辅助角化一个三角函数的形式，可用万能公式转化后换元等，下略）

解法二：建立坐标系，立即得目标函数。

由题设知，的面积为1，以B为原点，BC所在直线为轴，过点B与直线BC垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，设，

则

∴，

当且仅当时取等号，∴的最小值是。

法三：BC中点为D,由=.,=.

2.如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转a

(0＜a＜)得到正方形A′B′C′D′．根据平面几何知识，有以下两个结论：

①∠A′FE＝a；

②对任意a

(0＜a＜)，△EAL，△EA′F，△GBF，

△GB′H，△ICH，△IC′J，△KDJ，△KD′L均是全等三角形．

（1）设A′E＝x，将x表示为a的函数；

（2）试确定a，使正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积．

17．本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．满分14分．

解：（1）在Rt△EA′F中，因为∠A′FE＝a，A′E＝x，

所以EF＝，A′F＝

．

由题意AE＝A′E＝x，BF＝A′F＝，

所以AB＝AE＋EF＋BF＝x＋＋＝3．

所以x＝，a?(0，)

…………………

6分

（2）S△A′EF＝?A′E?A′F＝?x?＝

＝()2?＝．

…………………

9分

令t＝sina＋cosa，则sinacosa＝．

因为a?(0，)，所以a＋?(，)，所以t＝sin(a＋)?(1，]．

S△A′EF＝＝(1－)≤(1－)．

正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积

S＝S正方形A′B′C′D′－4S△A′EF≥9－9

(1－)＝18(－1)．

当t＝，即a＝时等号成立．

…………………

14分

答：当a＝时，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD重叠部分面积最小，最小值为18(－1)．

3.如图，正方形ABCD内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限．

（I）若正方形ABCD的边长为4，且与轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2．

①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切；

②求椭圆的标准方程．

（II）设椭圆的离心率为，直线AM的斜率为，求证：是定值．

16.解：（Ⅰ）①依题意：，，

3分

为外接圆直径直线与的外接圆相切；

5分

②由解得椭圆标准方程为．

10分

（Ⅱ）设正方形的边长为，正方形的边长为，

则，，代入椭圆方程得

14分

为定值．

15分

3