河北省高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3直线与椭圆的位置关系学案新人教A版选修

河北省高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3直线与椭圆的位置关系学案新人教A版选修本文简介：直线与椭圆的位置关系学习目标1、理解掌握直线与椭圆的位置关系及其判定2.会处理解决直线和椭圆的位置关系的实际应用问题1重点难点：理解掌握直线与椭圆的位置关系及其判定2．教学难点：会处理解决直线和椭圆的位置关系的实际应用问题方法：自主学习合作探究师生互动一\自主学习1．设椭圆的两焦点F1、F2，已知点

河北省高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.3直线与椭圆的位置关系学案新人教A版选修本文内容：

直线与椭圆的位置关系

学习目标1、理解掌握直线与椭圆的位置关系及其判定

2.会处理解决直线和椭圆的位置关系的实际应用问题

1重点难点：理解掌握直线与椭圆的位置关系及其判定

2．教学难点：会处理解决直线和椭圆的位置关系的实际应用问题

方

法：自主学习

合作探究

师生互动

一\自主学习

1．设椭圆的两焦点F1、F2，已知点P在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|＝2a，那么点P在椭圆外时，设直线PF1交椭圆于Q，则|PF1|＋|PF2|与|QF1|＋|QF2|的大小关系如何？

2．直线与椭圆的位置关系，可否像讨论直线与圆的位置关系那样，将直线与椭圆的方程联立组成方程组，通过方程组的解的个数来讨论？

2.新知识学习

1．点与椭圆的位置关系

点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：

点P在椭圆上?_________________；

点P在椭圆内部?_________________；

点P在椭圆外部?_________________.

2．直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：由消去y(或x)得到一个一元二次方程.

位置关系

解的个数

Δ的取值

相交

两解

Δ____0

相切

一解

Δ____0

相离

无解

Δ____0

3.直线与椭圆相交弦长

设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝__________＝__________，一般地，|x1－x2|＝用根与系数关系求解．

牛刀小试1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(，0)，直线y＝x与椭圆的一个交点的横坐标为2，则椭圆方程为(

)

A.＋y2＝1

B．x2＋＝1

C.＋＝1

D.＋＝1

2．直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为(

)

A.

B.

C.

D.

3．若直线mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(

)

A．2个

B．至多一个

C．1个

D．0个

4．过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程是__________________．

5．已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为__________________．

6．点P是椭圆＋＝1上的任意一点，则点P到直线l：3x－2y－16＝0的最短距离为__________________．

7．已知椭圆E：＋＝1.

(1)直线l：y＝x＋m与椭圆E有两个公共点，求实数m的取值范围；

(2)以椭圆E的焦点F1、F2为焦点，经过直线l′：x＋y＝9上一点P作椭圆C，当C的长轴最短时，求C的方程．

【课堂研讨】

一、直线与椭圆的位置关系

例1

已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.

(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；

(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．

跟踪训练1当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．

二、中点弦问题

例2、P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．

跟踪训练2、已知一直线与椭圆4x2＋9y2＝36相交于A、B两点，弦AB的中点为M(1,1)，求直线AB的方程

三、椭圆中的最值问题

例3已知椭圆E：＋＝1，点P(x，y)是椭圆上一点．

(1)求x2＋y2的最值；

(2)若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值．

跟踪训练3、若点P(x，y)满足＋y2＝1(y≥0)，求的最大值、最小值．

四、

例4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短轴长之比为21，若圆x2＋y2－4y＋3＝0上的点P到此椭圆上点Q的最大距离为1＋，求此椭圆的方程．

课外作业

班级：高一（

）班

姓名_________

一、选择题

1．已知m、n、m＋n成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆＋＝1的离心率为(

)

A.

B.

C.

D.

2．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是(

)

A．b2B．

Bc

C．abD．ac

3．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(

)

A．(－，)

B．(，＋∞)∪(－∞，－)

C．(，＋∞)

D．(－∞，－)

4．点P为椭圆＋＝1上一点，以点P及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为(

)

A．(±，1)

B．(，±1)

C．(，1)D．(±，±1)

5．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(

)

A.

B.

C.

D.

6．如图F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为(

)

A.

B.

C.

D.－1

.二、填空题

7．(2015·黑龙江哈师大附中高二期中测试)若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________________________．

8．直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围为__________________．

三、解答题

9．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．

10．已知动点P与平面上两定点A(－，0)、B(，0)连线的斜率的积为定值－.

(1)试求动点P的轨迹方程C；

(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M、N两点，当|MN|＝时，求直线l的方程．

答案

牛刀小试1、C

2、D

3、A

4、＋＝1

5,6,7,(1)由，消去y得，

3x2＋4mx＋2m2－8＝0.

∵直线l与椭圆E有两个公共点，

∴Δ＝16m2－12(2m2－8)>0，解得－2

∴实数m的取值范围是(－2，2)．

(2)依题意，F1(－2,0)、F2(2,0)．

作点F1(－2,0)关于l′的对称点F1′(9,11)

设P是l′与椭圆的公共点，则2a＝|PF1|＋|PF2|＝|PF′1|＋|PF2|≥|F′1F2|＝＝，

∴2a的最小值为，

此时，a2＝＝，b2＝a2－c2＝.

∴长轴最短的椭圆方程是＋＝1.

课外作业

一选择

1、C

2、B

3、B

4、D

5、B

6、D

填空

7、

x＋2y－4＝0

8、m≥1且m≠5

解答9、[解析]

(1)将点(0,4)代入椭圆C的方程，得＝1，∴b＝4，

又e＝＝，则＝，∴1－＝，∴a＝5，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，

设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入椭圆方程得＋＝1，即x2－3x－8＝0，由韦达定理得x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为(－3)＝－，即所截线段的中点坐标为(，－)．

10、[解析]

(1)设点P(x，y)，则依题意有·＝－，整理得＋y2＝1.由于x≠±，所以求得的曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．

(2)由，

消去y得，(1＋2k2)x2＋4kx＝0.

解得x1＝0，x2＝(x1、x2分别为M、N的横坐标)，

由|MN|＝|x1－x2|＝×||

＝，解得，k＝±1.

所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.

课堂随笔:

后记与感悟: