届高考数学专题突破：转化与化归思想中的“入口”策略

2013届高考数学专题突破：转化与化归思想中的“入口”策略本文简介：转化与化归思想中的“入口”策略“解题想要快，转化要先行，这个道理谁都知道，可是从何处开始转化，如何找到转化的‘入口’，总是让我们迷惘，真是万事开头难……”这是一个高三学生在学习中的苦恼。下面我们就来探讨如何寻找和构建实现转化的解题“入口”。一．根据动与静的联系实施转化xyO（图1）【例1】椭圆的焦点

2013届高考数学专题突破：转化与化归思想中的“入口”策略本文内容：

转化与化归思想中的“入口”策略

“解题想要快，转化要先行，这个道理谁都知道，可是从何处开始转化，如何找到转化的‘入口’，总是让我们迷惘，真是万事开头难……”这是一个高三学生在学习中的苦恼。下面我们就来探讨如何寻找和构建实现转化的解题“入口”。

一．根据动与静的联系实施转化

x

y

O

（图1）

【例1】椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是

.

【入口分析】题中运动变化的是点P，静止的是椭圆与其两焦点，

随P而变化，可从锐角到钝角变化，区分锐角与钝角的中间

量为直角，只要能够确定为直角的位置就可以求出P的横坐

标的取值范围，故只需确定为直角的位置即可。

解析：∵椭圆中a=3，b=2，c=，∴当为直角时，以F１F２为直径做一个圆与元椭圆相交于两点P１P２（如图1），在椭圆位于圆内的弧上任取一点P连F2P并延长交圆于A，连ＡF1和ＰF１，为直角，∴的外角必为钝角。由圆x2+y2=5与椭圆方程联立即可解出x1,2=，故xp∈(,)。

【评注】研究动点问题，通常通过观察动点的变化规律，找准谁动、谁静，再根据动与静的关系确定特殊位置，实现从“动”到“静”的转化，从而构想出相应的模型，实现证明和求解。

A1

C1

B1

M

A

C

P1

B

P

（图2-2）

【例2】

如图2-1，在正三棱柱ABC－A１B１C１中，AB＝3，AA１＝4，M为AA１的中点，一只蚂蚁从BC上一点P出发，沿棱柱侧面经过棱CC１到Ｍ点去觅食，且PC=BC。

A1

C1

B1

M

A

C

B

P

（图2-1）

求：（Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

（Ⅱ）求蚂蚁走过的最短路线的长度。

【入口分析】题中的路径和点N的位置是“动”的，

PN，NM为线段时路径PM最短；点P、M和各侧面及

侧棱CC1是“静”的，M与P在不同的侧面内，若能

将其化归到同一个面内，就可知两点间的距离最短。

解析：（Ⅰ）沿AA1将正三棱柱ABC－A１B１C１的侧面展开得一个长为９，宽为４的矩形，其对角线边长为.

（图3-2）

（图3-1）

（Ⅱ）如上图2-2，将侧面BB１C１C绕棱

CC１旋转120°使其与侧面AA１C１C在同一平面上，点Ｐ运动到点Ｐ１的位置，连接MP１，则MP１就是由点Ｐ沿棱柱侧面经过棱CC１到点Ｍ的最短路线，在Ｒt△MAP１中，由勾股定理得MP１2=（３＋3×）2+22=29，∴

MP１=【评注】对于几何中的翻折、对称问题一般通过抓住题中的动态关系，将动态问题静态化，采用曲直互化，实现将立体问题平面化，解决问题时简捷、直观。

二．根据量的变与不变实施转化

【例3】如图3-1，平面中两条直线和

相交于点O，对于平面上任意一点M，

若、分别是M到直线和的距离，

则称有序非负实数对（，）是点M

的“距离坐标”．已知常数≥0，≥0，给出下列命题：

①

若＝＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；

②若＝0，且＋≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；

③若≠0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个．

上述命题中，正确命题的个数是

（

）

A

0

B

1

C

2

D

3

【入口分析】题中的量有变与不变的关系，当点（p,q）确定后，M到直线l1、l2的距离是不变的，变化的只是位置，考查p固定，可转化为到l1距离为p的点，其轨迹为两直线，q固定也一样，再数形结合。

解析：分别作与l1、l2距离为p、q的直线l11、l12、

l21、l22，由图3-2可知选（D）。

①

正确，此点为点O；

②

正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）；

③

正确，四个交点为与直线l1相距为的两条平行线和与直线l2相距为的两条平行线的交点。

【评注】对焦点的个数研究，通常要抓住题中的不变量是什么，变量是什么，变与不变之间存在何关系，再由交轨、平移、对称等途径实现转化，由图形特征得出结论。

【例4】若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。

【入口分析】题中p的范围是不变的是已知的，的范围为所求，其值是变化的，随p的变化，的范围也发生了相应的变化，故可整理构建关于p的函数g(p)，以为参数，转化为[0，4]上g(p)与0的大小关系进行求解。

解析：

令，

则要使它对均有，只要有

或。

【评注】在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。实行主元与次元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。

三．根据数式与图形的结构特征实施转化

【例5】设u,v∈R，且|u|≤,v＞0,则(u－v)2+()2的最小值为

.

【入口分析】从数式的形与构来看于两点间的距离公式的平方同构，可视为两点间的距离的平方即可找到解题入口。

O

x

P

P0

Q

F

y

（图4）

解析：(u－v)2+()2可视为点P（u，）与点Q(v，)之间的距离的平方，P的轨迹为上半圆x2+y2=2，Q的轨迹为曲线C：y=，由图4可知

连接QO交半圆于P0，过P0作元的切线交PQ于F，在Rt△QP0F

中，FQ≥QP0，故PQ≥QF≥QP0，

∵|u|≤,v＞0,∴PQmin=QO-OP0，∵PQ=，当且仅当时取等号，∴PQmin=-=，故填8。

x

（图5-1）

y

O

P

【评注】数式的最值问题，通常可通过对其结构与形式特征进行观察，类比，联想与已知的定理、定义、性质等形式类似，实现转化，构建解题思路。

【例6】如图5-1，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，

动点P满足：|PM|+|PN|=6

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若|PM|·|PN|=,求点P的坐标.

【入口分析】根据已知条件“|PM|+|PN|=6”和“轨迹”易转化为利用椭圆的定义得点P的轨迹方程，由（Ⅱ）中的等式可变形转为向量的模和数量积，结合总条件，在中研究边与角之间的关系。得出P轨迹方程，实现向交轨问题转化（如图5-2）。

x

y

（图5-2）

解析：(Ⅰ)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.

则其c=2，a=3，∴b=，∴椭圆的方程为

(Ⅱ)由|PM|·|PN|=,得|PM|·|PN|cos∠MPN=|PM|·|PN|-2……①

因为cos∠MPN≠1，P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|2=|PM|2+|PN|2-2|PM|·|PN|cos∠MPN

……②

将①代入②，得42=|PM|2+|PN|2-2(|PM|·|PN|-2),∴（|PM|-|PN|）2=12，即||PM|-|PN||=，∴点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.

由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以由方程组

解得

即P点坐标为

【评注】解析几何问题通常要画出图形，根据图形特征，采用数形结合的方法，实现问题的转化，再求解。

四．根据正与反的关系实施转化

【例7】７封不同的信发往７处不同地址，由于装信封时未经仔细检查，信收到后发现有３封的内容和地址错位，发生这种错误的可能情形种数为（

）

Ａ

35

Ｂ

70

Ｃ

105

Ｄ

175

【入口分析】由３封的内容和地址错位的对立是4封的内容和地址正确，先正确后后错误，就实现了问题的转化。

解析：先选出４封正确的，然后让余下３封出错，∴共有故选B。

【评注】排列组合、概率等问题当正面考虑较困难时，通常从其对立面入手，进行正与反的转化，再求解。

【例8】一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。

（Ⅰ）若袋中共有10个球，

（i）求白球的个数；

（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。

（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

【入口分析】题中已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率，可先考查其对立事件：没有一个白球的概率，可解出第一问；第（Ⅱ）看上去很不好做，若抓住“至少得到1个黑球的概率不大于”其对立事件为“没有一个黑球的概率为”就可实现转化，再根据单调性给与证明和求解。

解析：（Ⅰ）（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到．故白球有5个．

（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是

0

1

2

3

的数学期望．

（Ⅱ）设袋中有n个球，其中y个黑球，y=，事件B：从袋中任意摸出两个球，至少有一个黑球，则P（）===

上述式随n的增大而增大，且n≥5

∴P（）=，

∴P（B）=1-

P（）≤

由于P（A）>P(B),则白球比黑球多,黑球个数为，则白球个数多于，

红球个数少于，故袋中红球个数最少。

【评注】对于至多至少问题，或正面解决较困难得问题，都可以通过正与反的转化，考虑其对立事件，实现问题求解，简化求解过程。

五．根据问题与条件之间的内在联系进行转化

【例9】设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若对于任意的x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立，则实数的值为

【入口分析】对任意的x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立，不等式恒成立求参数的范围，这里可变的是x，若将参数分化出来，转化为a关于x的函数或不等式关系，就可转为最值问题，再转为不等式，然后可以通过求导研究关于x的函数，判断其单调性并求出其最值。

解析：若，则不论取何值，f(x)≥0显然成立；当

即x∈[-1,1]时，f(x)=ax3-3x+1≥0可化为：a≥,设，则，

所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max=g()=4，从而≥4；当x＜0

即时，f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤，，g(x)

在区间上单调递增，因此g(x)max=g(-1)=4，从而≤4，综上a＝4.

【评注】对于不等式恒成立问题常常要将参数分离出来，利用问题与条件之间所蕴含的关系转化为研究函数的最值。通过求导研究函数的单调性和最值，在情况不定时要转化为对其取值进行分类讨论。

【例10】设p，q为实数，α，β是方程x2-px+q=0的两个实根，数列{xn}满足x1=p，x2=p2-q，xn=p

xn-1-q

xn-2，（n=3，4，…）．

（1）证明：α+β=p，α·β=q

（2）求数列{xn}的通项公式；

（3）若p=1,q=，，求{xn}的前n项和Sn。

【入口分析】（1）α，β是方程x2-px+q=0的两个实根，是根与方程的关系，可将一元二次方程转化为零点式，由多项式相等来实现证明（1）(也可直接用求根公式)。由（1）代入xn=p

xn-1

-q

xn-2可转化为一个新的等比数列，从而实现题可解。（3）书写条件与结论，将Sn乘上β可化归为课本上的错位相减法，实现题的可解。

解析：（1）α，β是方程x2-px+q=0的两个实根，则（x-α）(x-β)=

x2-px+qα+β=p，α·β=q。

（2）由（1）有α+β=p，α·β=q，从而xn=p

xn-1

-q

xn-2=（α+β）xn-1-α·βxn-2，∴xn

-αxn-1=β（xn-1-αxn-2）（n=3,4，…）,令an=

xn

-αxn-1(n=2，3，…)，则有a2=

x2

-αx1=p2-q-αp=β2，

an=βan-1=β2an-2=…=βn

（n=3,4，…）,∴当n≥3时，xn=α

xn-1

+

an=α

xn-1+βn=α(xn-2+βn-1)+βn=α2xn-2+αβn-1+βn=…

=αn-2x2+(αn-3β3+αn-4β4+αn-5β5+…+αβn-1+βn)，

而x1=p=α+β，x2=p2-q=α2+αβ+β2

∴当n≥3时，xn=αn+αn-1β+αn-2β2+αn-3β3+αn-4β4+αn-5β5+…+αβn-1+βn，

∴当n≥1时，xn=αn+αn-1β+αn-2β2+αn-3β3+αn-4β4+αn-5β5+…+αβn-1+βn，

∴xn=

（3）若p=1,q=，则α=β=，这时xn

=

其前n项的和为Sn=2β1+3β2+…+(n+1)βn=1β0+2β1+3β2+…+(n+1)βn-1β0

∴Sn-βSn=β0+β1+β2+…+βn-(n+1)βn+1-β0(1-β)=

∵β=，

∴Sn=2=3-

【评注】此题考查一元二次方程、数列的通项公式、数列前n项的和等知识，需要根据问题与条件之间所蕴含的关系，对函数与方程、分类与整合、特殊与一般进行相互的转化与化归，进行抽象概括、推理论证和运算来实现求解。

作者：段贤清，

联系地此：湖南省长沙县第三中学，邮编：

410148

联系电话：13787055130

邮

箱：[emailprotected]

简介：

1.湖南省十一五教育科学规划课题《中学数学校本教研的校际联动与资源共享研究》子课题《基于“能力发展”的学案设计研究》课题主持（组长）。

2.连续多年长沙县优秀教师，连续八年任教高三，并担任高三数学备课组长和班主任工作，有丰富的教育教学和管理经验，有较强的研究能力，有论文《大学生休息运动时间安排及时间优化配置模型》在《吉首大学学报》公开发表，有多篇论文获省级以上奖励，参与研究的“十五”规划课题“数学实验在中学课堂内外的实践与认识”子课题“数学实验在函数中的实践与认识”获省一等奖。