版高考数学复习函数导数及其应用教师用书文

2018版高考数学复习函数导数及其应用教师用书文本文简介：第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意

2018版高考数学复习函数导数及其应用教师用书文本文内容：

第二章函数、导数及其应用

第一节函数及其表示

1．函数与映射的概念

函数

映射

两集合

A，B

设A，B是两个非空的数集

设A，B是两个非空的集合

对应

关系

f：A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

名称

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

y＝f(x)，x∈A

对应f：A→B是一个映射

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

[小题体验]

1．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为(

)

A．y＝

B．y＝

C．y＝xex

D．y＝

答案：D

2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(

)

答案：B

3．函数f(x)＝的定义域是________________．

答案：[4,5)∪(5，＋∞)

4．已知f(x)＝3x3＋2x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.

解析：∵f(x)＝3x3＋2x＋1，

∴f(a)＋f(－a)＝3a3＋2a＋1＋3(－a)3＋2×(－a)＋1＝2，

∴f(－a)＝2－f(a)＝0.

答案：0

1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．

2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．

[小题纠偏]

1．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________.

解析：若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；

若a0，即x1.

则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.

2．(2017·贵阳监测)函数y＝的定义域为(

)

A．(－∞，1]

B．[－1,1]

C．[1,2)∪(2，＋∞)

D.∪

解析：选D

由函数y＝得解得即－1≤x≤1且x≠－，

所以所求函数的定义域为∪，故选D.

3．若函数y＝f(x)的定义域是[1,2

017]，则函数g(x)＝的定义域是(

)

A．[0,2

016]

B．[0,1)∪(1,2

016]

C．(1,2

017]

D．[－1,1)∪(1,2

016]

解析：选B

令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1,2

017]，可知1≤t≤2

017.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2

017，解得0≤x≤2

016，故函数f(x＋1)的定义域为[0,2

016]．所以使函数g(x)有意义的条件是解得0≤x0，所以t>1，

故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x>1.

(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

所以解得a＝b＝.

所以f(x)＝x2＋x，x∈R.

(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①

得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②

①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.

即f(x)＝.

∴f(x)的解析式是f(x)＝.

[由题悟法]

求函数解析式的4种方法

[即时应用]

1．已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．

解：法一：(换元法)设t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1，代入原式有

f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.

故f(x)＝x2－1，x≥1.

法二：(配凑法)∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，

∴f(＋1)＝(＋1)2－1，＋1≥1，

即f(x)＝x2－1，x≥1.

2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．

解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，

∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.

又∵方程f(x)＝0有两个相等实根，

∴Δ＝4－4c＝0，解得c＝1.故f(x)＝x2＋2x＋1.

[锁定考向]

高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．

常见的命题角度有：

(1)分段函数的函数求值问题；

(2)分段函数的自变量求值问题；

(3)分段函数与方程、不等式问题．

[题点全练]

角度一：分段函数的函数求值问题

1．(2017·西安质检)已知函数f(x)＝则f的值是________．

解析：由题意可得f＝log2＝－2，

∴f＝f(－2)＝3－2＋1＝.

答案：

角度二：分段函数的自变量求值问题

2．已知f(x)＝，若f(a)＝，则a＝________.

解析：若a≥0，由f(a)＝得，a＝，

解得a＝；

若a3a2，则a的取值范围是________．

解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，

若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－30时，由－log3a＝－2，解得a＝9，所以f(7－a)＝f(－2)＝2－2－2＝－.

2．(2015·山东高考)设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(

)

A.

B．[0,1]

C.

D．[1，＋∞)

解析：选C

由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a＜1时，有3a－1≥1，∴a≥，∴≤a＜1.当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.综上，a≥，故选C.

3．(2016·云南一检)已知函数f(x)的定义域为实数集R，?x∈R，f(x－90)＝则f(10)－f(－100)的值为________．

解析：∵f(10)＝f(100－90)＝lg

100＝2，f(－100)＝f(－10－90)＝－(－10)＝10，∴f(10)－f(－100)＝2－10＝－8.

答案：－8

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．函数f(x)＝＋log2(6－x)的定义域是(

)

A．(6，＋∞)

B．(－3,6)

C．(－3，＋∞)

D．[－3,6)

解析：选D

要使函数有意义应满足

解得－3≤x1时，f(x)∈(0,1)，当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，

∴f(x)∈[－3，＋∞)．

答案：－

[－3，＋∞)

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知函数f(x)＝x|x|，若f(x0)＝4，则x0的值为(

)

A．－2

B．2

C．－2或2

D.

解析：选B

当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，

即x＝4，解得x0＝2.

当xg(f(x))的x的值是________．

解析：∵g(1)＝3，f(3)＝1，

∴f(g(1))＝1.

当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．

当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．

当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．

答案：1

2

7．已知函数f(x)＝若f(1)＝，则f(3)＝________.

解析：由f(1)＝，可得a＝，

所以f(3)＝2＝.

答案：

8．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为________．

解析：∵y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，

∴x∈[－，

]，x2－1∈[－1,2]，

∴y＝f(x)的定义域为[－1,2]．

答案：[－1,2]

9．已知函数f(x)＝2x＋1与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形，则函数y＝g(x)的解析式为________．

解析：设点M(x，y)为函数y＝g(x)图象上的任意一点，点M′(x′，y′)是点M关于直线x＝2的对称点，则

又y′＝2x′＋1，

∴y＝2(4－x)＋1＝9－2x，

即g(x)＝9－2x.

答案：g(x)＝9－2x

10．如图，已知A(n，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.

(1)求反比例函数和一次函数的解析式．

(2)求△AOC的面积．

解：(1)因为B(1,4)在反比例函数y＝上，所以m＝4，

又因为A(n，－2)在反比例函数y＝＝的图象上，所以n＝－2，

又因为A(－2，－2)，B(1,4)是一次函数y＝kx＋b上的点，联立方程组解得

所以y＝，y＝2x＋2.

(2)因为y＝2x＋2，令x＝0，得y＝2，所以C(0,2)，所以△AOC的面积为：S＝×2×2＝2.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为(

)

A．－

B．－

C．－或－

D.或－

解析：选B

当a>0时，1－a1.

由f(1－a)＝f(1＋a)得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－，不合题意；当a1,1＋af(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数

图象

描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M

①对于任意x∈I，都有f(x)≥M；

②存在x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为函数y＝f(x)的最大值

M为函数y＝f(x)的最小值

[小题体验]

1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是(

)

A．y＝e－x

B．y＝x3

C．y＝ln

x

D．y＝|x|

答案：B

2．y＝x2－6x＋5的单调减区间为________．

解析：y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，表示开口向上，对称轴为x＝3的抛物线，其单调减区间为(－∞，3]．

答案：(－∞，3]

3．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.

解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]?(0，＋∞)，

∴f(x)＝在[2，a]上也是减函数，

∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，

∴＋＝，∴a＝4.

答案：4

1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝.

3．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比．

[小题纠偏]

1．设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

答案：[－1,1]，[5,7]

2．函数f(x)＝在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________．

解析：易知f(x)在[－2,0]上是减函数，

∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－－(－2)＝.

答案：

[题组练透]

1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(

)

A．f(x)＝3－x

B．f(x)＝x2－3x

C．f(x)＝－

D．f(x)＝－|x|

解析：选C

当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；

当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，

当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；

当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．

2．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

解：法一(定义法)：

设－10，x1－10时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上递减；

当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1,1)上递增．

3．判断函数y＝在(－1，＋∞)上的单调性．

解：法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1－1，x2>－1，

∴x1＋1>0，x2＋1>0，

又x10，

∴>0，即y1－y2>0.

∴y1>y2，

∴函数y＝在(－1，＋∞)上单调递减．

法二：y＝＝1＋.

∵y＝x＋1在(－1，＋∞)上是增函数，

∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数，

∴y＝1＋在(－1，＋∞)上是减函数．

即函数y＝在(－1，＋∞)上单调递减．

[谨记通法]

判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤

(1)定义法，其基本步骤：

取值

(2)导数法，其基本步骤：

[典例引领]

求下列函数的单调区间：

(1)y＝－x2＋2|x|＋1；

(2)y＝log

(x2－3x＋2)．

解：(1)由于y＝

即y＝

画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

(2)令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝logu与u＝x2－3x＋2的复合函数．

令u＝x2－3x＋2＞0，则x＜1或x＞2.

∴函数y＝log

(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．

又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝，且开口向上．

∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．

而y＝logu在(0，＋∞)上是单调减函数，

∴y＝log

(x2－3x＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．

[由题悟法]

确定函数的单调区间的3种方法

[提醒]

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

[即时应用]

1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是(

)

A．(－∞，0)

B.

C．[0，＋∞)

D.

解析：选B

y＝|x|(1－x)

＝

＝

＝

画出函数的草图，如图．

由图易知原函数在上单调递增．故选B.

2．函数y＝的单调递增区间为(

)

A．(1，＋∞)

B.

C.

D.

解析：选B

令u＝2x2－3x＋1＝22－.

因为u＝22－在上单调递减，函数y＝u在R上单调递减．

所以y＝在上单调递增．

[锁定考向]

高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．

常见的命题角度有：

(1)求函数的值域或最值；

(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；

(3)解函数不等式；

(4)利用单调性求参数的取值范围或值．

[题点全练]

角度一：求函数的值域或最值

1．函数f(x)＝的最大值为________．

解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当xx1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)a>b

B．c>b>a

C．a>c>b

D．b>a>c

解析：选D

因f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)f>f(e)，

∴b>a>c.

角度三：解函数不等式

3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(x)，则实数x的取值范围是(

)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－1,2)

D．(－2,1)

解析：选D

∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－20)在上的值域为，则a＝________，b＝________.

解析：∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，

∴f＝，f(2)＝2.

即

解得a＝1，b＝.

答案：1

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2017·珠海摸底)下列函数中，定义域是R且为增函数的是(

)

A．y＝2－x

B．y＝x

C．y＝log2

x

D．y＝－

解析：选B

由题知，只有y＝2－x与y＝x的定义域为R，且只有y＝x在R上是增函数．

2．一次函数y＝kx＋b在R上是增函数，则k的取值范围为(

)

A．(0，＋∞)

B．[0，＋∞)

C．(－∞，0)

D．(－∞，0]

解析：选A

法一：由一次函数的图象可知选A.

法二：设?x1，x2∈R且x10，即k(x1－x2)2>0，

∵(x1－x2)2>0，∴k>0，故选A.

3．(2017·北京东城期中)已知函数y＝，那么(

)

A．函数的单调递减区间为(－∞，1)，(1，＋∞)

B．函数的单调递减区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)

C．函数的单调递增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)

D．函数的单调递增区间为(－∞，1)∪(1，＋∞)

解析：选A

函数y＝可看作是由y＝向右平移1个单位长度得到的，∵y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，∴y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上单调递减，∴函数y＝的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋∞)，故选A.

4．函数y＝－x(x≥0)的最大值为________．

解析：令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－2＋，结合图象知，当t＝，即x＝时，ymax＝.

答案：

5．函数f(x)＝log

(x2－4)的单调递增区间为________．

解析：由x2－4>0得x2.又u＝x2－4在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝logu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．

答案：(－∞，－2)

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(

)

A．(－∞，1]

B．[3，＋∞)

C．(－∞，－1]

D．[1，＋∞)

解析：选B

设t＝x2－2x－3，由t≥0，

即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.

所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．

所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．

2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，

且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f≤2f(1)，则a的取值范围是(

)

A．[1,2]

B.

C.

D．(0,2]

解析：选C

因为loga＝－log2

a，且f(x)是偶函数，所以f(log2a)＋f(loga)＝2f(log2a)＝2f(|log2a|)≤2f(1)，即f(|log2a|)≤f(1)，又函数在[0，＋∞)上单调递增，所以0≤|log2a|≤1，即－1≤log2

a≤1，解得≤a≤2.

3．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a0，x1≠x2，且f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(

)

A．[－1,2)

B．[0,2)

C．[0,1)

D．[－1,1)

解析：选C

函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，∴函数在[－2,2]上单调递增，∴

∴∴0≤a0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.

解析：函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m>0，即m1，则函数f(x)在[－1,2]上的最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，＝m，与m0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

解：(1)证明：任设x10，x1－x20，x2－x1>0，

∴要使f(x1)－f(x2)>0，

只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.

综上所述知a的取值范围是(0,1]．

10．已知函数f(x)＝a－.

(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)0，x2－x1>0，

f(x2)－f(x1)＝－＝－＝>0，

所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)由题意a－1，所以2－>0，

所以h(x1)1时，f(x)x2，

则>1，由于当x>1时，f(x)0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.

答案：－2

3．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.

答案：－1

1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．

3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．

[小题纠偏]

1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(

)

A．－

B.

C.

D．－

解析：选B

∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.

2．下列函数中，为奇函数的是(

)

A．y＝3x＋

B．y＝x，x∈{0,1}

C．y＝x·sin

x

D．y＝

解析：选D

由函数奇偶性定义易知函数y＝3x＋和y＝x·sin

x都是偶函数，排除A和C；函数y＝x，x∈{0,1}的定义域不关于坐标原点对称，既不是奇函数又不是偶函数，排除B；由奇函数的定义知y＝是奇函数，故选D.

[题组练透]

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝＋；

(3)f(x)＝3x－3－x；

(4)f(x)＝；

(5)(易错题)f(x)＝

解：(1)∵由得x＝±1，

∴f(x)的定义域为{－1,1}．

又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，

即f(x)＝±f(－x)．

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(2)∵函数f(x)＝＋的定义域为，

不关于坐标原点对称，

∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

(3)∵f(x)的定义域为R，

∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．

(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.

∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，

∴f(x)＝＝＝，

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，

则当x0，

故f(－x)＝x2－x＝f(x)；

当x0时，－x0)．

[即时应用]

1．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)等于(

)

A．－1

B．1

C．－2

D．2

解析：选A

由f(x)是R上周期为5的奇函数，知

f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，

f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，

∴f(3)－f(4)＝－1，故选A.

2．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2

017)的值为________．

解析：∵f(x＋2)＝－，

∴f(x＋4)＝－＝f(x)，

∴函数y＝f(x)的周期T＝4.

又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，

∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－＝－1，f(4)＝－＝－.

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2

017)

＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)

＝504＋1

＝1

345.

答案：1

345

[锁定考向]

函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．

常见的命题角度有：

(1)奇偶性的应用；

(2)单调性与奇偶性结合；

(3)周期性与奇偶性结合；

(4)单调性、奇偶性与周期性结合．

[题点全练]

角度一：奇偶性的应用

1．(2017·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)＝(

)

A．－2x

B．2－x

C．－2－x

D．2x

解析：选C

x>0时，－x0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.

角度二：单调性与奇偶性结合

2．(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)＞f(－)，则a的取值范围是(

)

A.

B.∪

C.

D.

解析：选C

因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()，可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.

角度三：周期性与奇偶性结合

3．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围是(

)

A．(－1,4)

B．(－2,1)

C．(－1,2)

D．(－1,0)

解析：选A

因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即<1，

化简得(a－4)(a＋1)<0，

解得－1

角度四：单调性、奇偶性与周期性结合

4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(

)

A．f(－25)

B．f(80)

C．f(11)

D．f(－25)

解析：选D

因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，

所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．

由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．

因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，

所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，

所以f(－1)

[通法在握]

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

[演练冲关]

1．(2017·广州模拟)已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝(

)

A．2